а) Решите уравнение $\sin ( x + \frac{Пи}{6} ) - \sqrt{3} \sin ( Пи - x

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. [рисунок] а) Последовательно получаем: $\sin ( x + \frac{Пи}{6} ) - \sqrt{3} \sin ( Пи - x ) = 0 \Leftrightarrow \sin ( x + \frac{Пи}{6} ) - \sqrt{3} \sin x = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \sin x \cos \frac{Пи}{6} + \cos x \sin \frac{Пи}{6} - \sqrt{3} \sin x = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{2} \cos x = \sqrt{3} \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \frac{1}{2} \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x \Leftrightarrow \cos x = \sqrt{3} \sin x \Leftrightarrow \ctg x = \sqrt{3} \Leftrightarrow x = \frac{Пи}{6} + Пи k, k \in Z$ $\sin ( x + \frac{Пи}{6} ) - \sqrt{3} \sin ( Пи - x ) = 0 \Leftrightarrow \sin ( x + \frac{Пи}{6} ) - \sqrt{3} \sin x = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \sin x \cos \frac{Пи}{6} + \cos x \sin \frac{Пи}{6} - \sqrt{3} \sin x = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \frac{1}{2} \cos x = \sqrt{3} \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x \Leftrightarrow \frac{1}{2} \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \cos x = \sqrt{3} \sin x \Leftrightarrow \ctg x = \sqrt{3} \Leftrightarrow x = \frac{Пи}{6} + Пи k, k \in Z$ $\sin ( x + \frac{Пи}{6} ) - \sqrt{3} \sin ( Пи - x ) = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \sin ( x + \frac{Пи}{6} ) - \sqrt{3} \sin x = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \sin x \cos \frac{Пи}{6} + \cos x \sin \frac{Пи}{6} - \sqrt{3} \sin x = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \frac{1}{2} \cos x = \sqrt{3} \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x \Leftrightarrow \frac{1}{2} \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \cos x = \sqrt{3} \sin x \Leftrightarrow \ctg x = \sqrt{3} \Leftrightarrow x = \frac{Пи}{6} + Пи k, k \in Z$ $\sin ( x + \frac{Пи}{6} ) - \sqrt{3} \sin ( Пи - x ) = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \sin ( x + \frac{Пи}{6} ) - \sqrt{3} \sin x = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \sin x \cos \frac{Пи}{6} + \cos x \sin \frac{Пи}{6} - \sqrt{3} \sin x = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \frac{1}{2} \cos x = \sqrt{3} \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \frac{1}{2} \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x \Leftrightarrow \cos x = \sqrt{3} \sin x \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \ctg x = \sqrt{3} \Leftrightarrow x = \frac{Пи}{6} + Пи k, k \in Z$ б) Отберем корни при помощи единичной окружности (см. рис.).