а) Решите уравнение $\sin x - \cos x = \sqrt{1 + \sin 2x} - 1$ б)

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. а) Заметим, что: $1 + \sin 2x = \sin^{2} x + 2 \sin x \cos x + \cos^{2} x = ( \sin x + \cos x )^{2} ,$ и потому $\sqrt{1 + \sin 2x} = \sqrt{( \sin x + \cos x )^{2}} = | \sin x + \cos x|$ Далее имеем: $| \sin x + \cos x| = \sin x - \cos x + 1 \Leftrightarrow система выражений совокупность выражений \sin x + \cos x = \sin x - \cos x + 1 , \sin x + \cos x = - \sin x + \cos x - 1, конец системы . \sin x - \cos x + 1 \geqslant 0 конец совокупности . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений совокупность выражений \cos x = \frac{1}{2} , \sin x = - \frac{1}{2} , конец системы . \sin x - \cos x \geqslant - 1 конец совокупности . \Leftrightarrow система выражений совокупность выражений x = \frac{Пи}{3} + 2 Пи k, x = - \frac{Пи}{3} + 2 Пи k , x = - \frac{Пи}{6} + 2 Пи k , x = - \frac{5 Пи}{6} + 2 Пи k , конец системы . \sin x - \cos x \geqslant - 1, конец совокупности . k \in Z$ Подставляя найденные серии в неравенство $\sin x - \cos x \geqslant - 1,$ заключаем, что подходят $x = \frac{Пи}{3} + 2 Пи k$ и $x = - \frac{5 Пи}{6} + 2 Пи k$ б) Значению $k = 0$ соответствуют решения $минус \frac{5 Пи}{6}$ и $\frac{Пи}{3} ,$ оба этих корня принадлежат отрезку $[ - \frac{3 Пи}{2} ; Пи ]$ При $k \geqslant 1$ члены обеих серий больше, чем π, а при $k \leqslant - 1$ члены обеих серий меньше, чем $минус \frac{3 Пи}{2}$ Поэтому других решений на заданном отрезке нет.