Присоединиться

Математика·Уравнения·11 класс

а) Решите уравнение $\sin 6 Пи x - \cos 3 Пи x = корень из 2 \cos ( 3

Условие

а) Решите уравнение sin⁡6Пиx−cos⁡3Пиx=кореньиз2cos⁡(3Пиx−Пи4)−1\sin 6 Пи x - \cos 3 Пи x = корень из 2 \cos ( 3 Пи x - \frac{Пи}{4} ) - 1 б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку [ 1 - корень из 2 ; корень из 2 - 1 ] Критерии оценивания выполнения задания | Баллы | Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2 | Обоснованно получен верный ответ в пункте а),ИЛИполучены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б) | 1 | Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 | Максимальный балл | 2 |

Ответ

а) @@M18@@ б) @@M19@@ @@M20@@ @@M21@@

Решение по шагам

  1. Как рассуждать

    Решение. а) Преобразуем уравнение: sin⁡6Пиx−cos⁡3Пиx=кореньиз2cos⁡(3Пиx−Пи4)−1⇔2sin⁡3Пиxcos⁡3Пиx−cos⁡3Пиx=cos⁡3Пиx+sin⁡3Пиx−1⇔\sin 6 Пи x - \cos 3 Пи x = корень из 2 \cos ( 3 Пи x - \frac{Пи}{4} ) - 1 \Leftrightarrow 2 \sin 3 Пи x \cos 3 Пи x - \cos 3 Пи x = \cos 3 Пи x + \sin 3 Пи x - 1 \Leftrightarrow ⇔2sin⁡3Пиxcos⁡3Пиx−2cos⁡3Пиx−sin⁡3Пиx+1=0⇔(2cos⁡3Пиx−1)(sin⁡3Пиx−1)=0⇔\Leftrightarrow 2 \sin 3 Пи x \cos 3 Пи x - 2 \cos 3 Пи x - \sin 3 Пи x + 1 =0 \Leftrightarrow ( 2 \cos 3 Пи x - 1 ) ( \sin 3 Пи x - 1 ) =0 \Leftrightarrow ⇔совокупностьвыражений2cos⁡3Пиx−1=0,sin⁡3Пиx−1=0конецсовокупности.⇔совокупностьвыраженийcos⁡3Пиx=12,sin⁡3Пиx=1конецсовокупности.⇔совокупностьвыражений3Пиx=±Пи3+2Пиk,3Пиx=Пи2+2Пиkконецсовокупности.k∈Z⇔совокупностьвыраженийx=±19+2k3,x=16+2k3конецсовокупности.k∈Z\Leftrightarrow совокупность выражений 2 \cos 3 Пи x - 1 =0, \sin 3 Пи x - 1 =0 конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений \cos 3 Пи x = \frac{1}{2} , \sin 3 Пи x = 1 конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений 3 Пи x =\pm \frac{Пи}{3} + 2 Пи k, 3 Пи x = \frac{Пи}{2} + 2 Пи k конец совокупности .k \in Z \Leftrightarrow совокупность выражений x =\pm \frac{1}{9} + \frac{2k}{3} , x = \frac{1}{6} + \frac{2k}{3} конец совокупности . k \in Z б) Отберем корни при помощи двойных неравенств: 1−2⩽19+2k3⩽2−1⇔9−92⩽1+6k⩽92−9⇔1 - \sqrt{2} \leqslant \frac{1}{9} + \frac{2k}{3} \leqslant \sqrt{2} - 1 \Leftrightarrow 9 - 9 \sqrt{2} \leqslant 1 + 6k \leqslant 9 \sqrt{2} - 9 \Leftrightarrow ⇔8−92⩽6k⩽92−10⇔43−322⩽k⩽322−53⇔−1112<k<712⇔k=0\Leftrightarrow 8 - 9 \sqrt{2} \leqslant 6k \leqslant 9 \sqrt{2} - 10 \Leftrightarrow \frac{4}{3} - \frac{3 \sqrt{2}}{2} \leqslant k \leqslant \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{5}{3} \Leftrightarrow - \frac{11}{12} < k < \frac{7}{12} \Leftrightarrow k=0 Найденному значению k соответствует корень 19\frac{1}{9} Проверим следующую серию: 1−2⩽−19+2k3⩽2−1⇔9−92⩽−1+6k⩽92−9⇔1 - \sqrt{2} \leqslant - \frac{1}{9} + \frac{2k}{3} \leqslant \sqrt{2} - 1 \Leftrightarrow 9 - 9 \sqrt{2} \leqslant - 1 + 6k \leqslant 9 \sqrt{2} - 9 \Leftrightarrow ⇔10−92⩽6k⩽92−8⇔53−322⩽k⩽322−43⇔−712<k<1112⇔k=0\Leftrightarrow 10 - 9 \sqrt{2} \leqslant 6k \leqslant 9 \sqrt{2} - 8 \Leftrightarrow \frac{5}{3} - \frac{3 \sqrt{2}}{2} \leqslant k \leqslant \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{4}{3} \Leftrightarrow - \frac{7}{12} < k < \frac{11}{12} \Leftrightarrow k=0 Найденному значению k соответствует корень минус19минус \frac{1}{9} Проверим следующую серию: 1−2⩽16+2k3⩽2−1⇔6−62⩽1+4k⩽62−6⇔1 - \sqrt{2} \leqslant \frac{1}{6} + \frac{2k}{3} \leqslant \sqrt{2} - 1 \Leftrightarrow 6 - 6 \sqrt{2} \leqslant 1 + 4k \leqslant 6 \sqrt{2} - 6 \Leftrightarrow ⇔5−62⩽4k⩽62−7⇔54−322⩽k⩽322−74⇔−1<k<12⇔k=0\Leftrightarrow 5 - 6 \sqrt{2} \leqslant 4k \leqslant 6 \sqrt{2} - 7 \Leftrightarrow \frac{5}{4} - \frac{3 \sqrt{2}}{2} \leqslant k \leqslant \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{7}{4} \Leftrightarrow - 1 < k < \frac{1}{2} \Leftrightarrow k=0 Найденному значению k соответствует корень 16\frac{1}{6} Ответ: а) {−19+2k3;19+2k3;16+2k3:k∈Z}\{ - \frac{1}{9} + \frac{2k}{3} ; \frac{1}{9} + \frac{2k}{3} ; \frac{1}{6} + \frac{2k}{3} : k \in Z \} б) минус19,минус \frac{1}{9} , 19,\frac{1}{9} , 16\frac{1}{6}

Осталось ещё 1 шаг — откроются после входа:

  • Полный разбор с проверкой ответа
Получить полное решение

Бесплатно · займёт минуту

Другие задачи по теме «Уравнения»

X - \frac{1}{2} ) - 8 \cdot 3 в степени ( x - 1 ) + 5=0$ б) Найдите все11 класса) Решите уравнение: $4 в степени ( x ) - 2 в степени ( x + 3 ) + 15=0$11 класса) Решите уравнение $27^{x} - 5 \cdot 9^{x} - 3 в степени ( x + 2 ) +11 классX^{2} - 2x + 1 ) + 4 в степени ( x^{2} - 2x ) =20$ б) Найдите все корни11 класса) Решите уравнение $3 \cdot 9 в степени ( x - \frac{1}{2} ) - 7 \cdot11 класс
Похожая задача?Сфотографируйте своё условие — ИИ разберёт его по шагам так же
а) Решите уравнение $\sin 6 Пи x - \cos 3 Пи x = корень из 2 \cos ( 3 — решение с объяснением | Lom Ai