а) Решите уравнение $\sin ( 3x - \frac{3 Пи}{2} ) + \sin ( x + \frac{7

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. [рисунок] а) Применим формулы приведения и формулу разности косинусов, затем разложим полученное выражение на множители: $\sin ( 3x - \frac{3 Пи}{2} ) + \sin ( x + \frac{7 Пи}{2} ) = \sqrt{3} \cos ( x + \frac{3 Пи}{2} ) \Leftrightarrow \cos 3x - \cos x= \sqrt{3} \sin x \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 2 \sin 2x \sin x + \sqrt{3} \sin x=0 \Leftrightarrow \sin x ( 2 \sin 2x + \sqrt{3} ) =0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow совокупность выражений \sin x=0, \sin 2x= - \frac{\sqrt{3}}{2} конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений x= Пи k,2x= - \frac{Пи}{3} + 2 Пи k,2x= - \frac{2 Пи}{3} + 2 Пи k конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений x= Пи k,x= - \frac{Пи}{6} + Пи k,x= - \frac{Пи}{3} + Пи k конец совокупности . k \in Z$ $\sin ( 3x - \frac{3 Пи}{2} ) + \sin ( x + \frac{7 Пи}{2} ) = \sqrt{3} \cos ( x + \frac{3 Пи}{2} ) \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \cos 3x - \cos x= \sqrt{3} \sin x \Leftrightarrow 2 \sin 2x \sin x + \sqrt{3} \sin x=0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \sin x ( 2 \sin 2x + \sqrt{3} ) =0 \Leftrightarrow совокупность выражений \sin x=0, \sin 2x= - \frac{\sqrt{3}}{2} конец совокупности . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow совокупность выражений x= Пи k,2x= - \frac{Пи}{3} + 2 Пи k,2x= - \frac{2 Пи}{3} + 2 Пи k конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений x= Пи k,x= - \frac{Пи}{6} + Пи k,x= - \frac{Пи}{3} + Пи k конец совокупности . k \in Z$ $\sin ( 3x - \frac{3 Пи}{2} ) + \sin ( x + \frac{7 Пи}{2} ) = \sqrt{3} \cos ( x + \frac{3 Пи}{2} ) \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \cos 3x - \cos x= \sqrt{3} \sin x \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 2 \sin 2x \sin x + \sqrt{3} \sin x=0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \sin x ( 2 \sin 2x + \sqrt{3} ) =0 \Leftrightarrow совокупность выражений \sin x=0, \sin 2x= - \frac{\sqrt{3}}{2} конец совокупности . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow совокупность выражений x= Пи k,2x= - \frac{Пи}{3} + 2 Пи k,2x= - \frac{2 Пи}{3} + 2 Пи k конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений x= Пи k,x= - \frac{Пи}{6} + Пи k,x= - \frac{Пи}{3} + Пи k конец совокупности . k \in Z$ б) Отберём корни при помощи единичной окружности (см. рис.).