а) Решите уравнение $\sin^{3} x \cdot ( 1 + \ctg x ) + \cos^{3} x \cdot

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. а) Уравнение определено при $\sin x \cos x > 0$ Преобразуем уравнение при этом условии: $\sin^{3} x \cdot ( 1 + \ctg x ) + \cos^{3} x \cdot ( 1 + \operatorname{tg} x ) =2 \sqrt{\sin x \cdot \cos x} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \sin^{3} x + \sin^{2} x \cos x + \cos^{3} x + \cos^{2} x \sin x=2 \sqrt{\sin x \cdot \cos x} \Leftrightarrow$ $\sin x ( \sin^{2} x + \cos^{2} x ) + \cos x ( \sin^{2} x + \cos^{2} x ) =2 \sqrt{\sin x \cdot \cos x} \Leftrightarrow \sin x + \cos x=2 \sqrt{\sin x \cdot \cos x}$ Поскольку синус и косинус имеют один знак, последнее равенство возможно только в случае, когда обе эти функции положительны, тогда уравнение можно представить в виде $\sqrt{\sin x}^{2} + \sqrt{\cos x}^{2} =2 \sqrt{\sin x} \sqrt{\cos x} \Leftrightarrow ( \sqrt{\sin x} - \sqrt{\cos x} )^{2} = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \sqrt{\sin x} = \sqrt{\cos x} \Leftrightarrow система выражений \sin x > 0, \cos x > 0, \sin x = \cos x конец системы . \Leftrightarrow x= \frac{Пи}{4} + 2 Пи k, k \in Z$ $\sqrt{\sin x}^{2} + \sqrt{\cos x}^{2} =2 \sqrt{\sin x} \sqrt{\cos x} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow ( \sqrt{\sin x} - \sqrt{\cos x} )^{2} = 0 \Leftrightarrow \sqrt{\sin x} = \sqrt{\cos x} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений \sin x > 0, \cos x > 0, \sin x = \cos x конец системы . \Leftrightarrow x= \frac{Пи}{4} + 2 Пи k, k \in Z$ б) Отберем корни при помощи двойного неравенства: $\frac{7 Пи}{2} \leqslant \frac{Пи}{4} + 2 Пи k \leqslant 7 Пи \Leftrightarrow \frac{13}{8} \leqslant k \leqslant \frac{27}{8} \underset k \in Z \mathop \Leftrightarrow совокупность выражений k=2,k=3. конец совокупности$ Найденным значениям параметра соответствуют решения $\frac{17 Пи}{4}$ и $\frac{25 Пи}{4}$