а) Решите уравнение $\sin^{2} \frac{2 x}{3} + 2 \sin \frac{2 x}{3} \sin

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. а) Применим основное тригонометрическое тождество и формулу синуса двойного угла: $1 - \cos^{2} \frac{x}{3} = \sin^{2} \frac{x}{3} ,$ $\sin \frac{2 x}{3} = 2 \sin \frac{x}{3} \cos \frac{x}{3}$ Перенесем выражение из правой части в левую и разложим на множители: $\sin^{2} \frac{2 x}{3} + 2 \sin \frac{2x}{3} \sin \frac{x}{3} + ( 1 - \cos^{2} \frac{x}{3} ) = 4 \sin^{2} \frac{x}{3} \cos^{2} \frac{x}{3} + 4 \sin^{2} \frac{x}{3} \cos \frac{x}{3} + \sin^{2} \frac{x}{3} =$ $= \sin^{2} \frac{x}{3} ( 4 \cos^{2} \frac{x}{3} + 4 \cos \frac{x}{3} + 1 ) = \sin^{2} \frac{x}{3} ( 2 \cos \frac{x}{3} + 1 )^{2}$ $\sin^{2} \frac{2 x}{3} + 2 \sin \frac{2x}{3} \sin \frac{x}{3} + ( 1 - \cos^{2} \frac{x}{3} ) =$ $= 4 \sin^{2} \frac{x}{3} \cos^{2} \frac{x}{3} + 4 \sin^{2} \frac{x}{3} \cos \frac{x}{3} + \sin^{2} \frac{x}{3} =$ $= \sin^{2} \frac{x}{3} ( 4 \cos^{2} \frac{x}{3} + 4 \cos \frac{x}{3} + 1 ) = \sin^{2} \frac{x}{3} ( 2 \cos \frac{x}{3} + 1 )^{2}$ $\sin^{2} \frac{2 x}{3} + 2 \sin \frac{2x}{3} \sin \frac{x}{3} + ( 1 - \cos^{2} \frac{x}{3} ) =$ $= 4 \sin^{2} \frac{x}{3} \cos^{2} \frac{x}{3} + 4 \sin^{2} \frac{x}{3} \cos \frac{x}{3} + \sin^{2} \frac{x}{3} =$ $= \sin^{2} \frac{x}{3} ( 4 \cos^{2} \frac{x}{3} + 4 \cos \frac{x}{3} + 1 ) =$ $= \sin^{2} \frac{x}{3} ( 2 \cos \frac{x}{3} + 1 )^{2}$ Таким образом, уравнение равносильно следующим: $совокупность выражений \sin \frac{x}{3} =0, \cos \frac{x}{3} = - \frac{1}{2} конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений \frac{x}{3} = Пи k, \frac{x}{3} =\pm \frac{2 Пи}{3} + 2 Пи k конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений x =3 Пи k, x = 2 Пи + 6 Пи l, x = - 2 Пи + 6 Пи m, конец совокупности . k, l, m \in Z$ б) Отберем корни при помощи двойных неравенств: совокупность выражений - 2 Пи \leqslant 3 Пи k \leqslant $\frac{11 Пи}{2}$ , - 2 Пи \leqslant 2 Пи + 6 Пи l \leqslant $\frac{11 Пи}{2}$ , - 2 Пи \leqslant - 2 Пи + 6 Пи m \leqslant $\frac{11 Пи}{2}$ конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений - $\frac{2}{3}$ \leqslant k \leqslant $\frac{11}{6}$ , - $\frac{2}{3}$ \leqslant l \leqslant $\frac{7}{12}$ , 0 \leqslant m \leqslant $\frac{15}{12}$ конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений k = 0, k= 1, l = 0, m = 0, m =