а) Решите уравнение $( \sin^{2} 2 x + \cos^{2} x ) + \sqrt{3} ( \sin 2

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. а) Выделим в левой части уравнения полные квадраты: $( \sin^{2} 2 x + \cos^{2} x ) + \sqrt{3} ( \sin 2 x + \cos x ) + \frac{3}{2} =$ $= ( \sin^{2} 2 x + 2 \sin 2 x \cdot \frac{\sqrt{3}{}} 2 + \frac{3}{4} ) + ( \cos^{2} x + 2 \cos x \cdot \frac{\sqrt{3}{}} 2 + \frac{3}{4} ) = ( \sin 2x + \frac{\sqrt{3}{}} 2 )^{2} + ( \cos x + \frac{\sqrt{3}{}} 2 )^{2}$ $( \sin^{2} 2 x + \cos^{2} x ) + \sqrt{3} ( \sin 2 x + \cos x ) + \frac{3}{2} =$ $= ( \sin^{2} 2 x + 2 \sin 2 x \cdot \frac{\sqrt{3}{}} 2 + \frac{3}{4} ) + ( \cos^{2} x + 2 \cos x \cdot \frac{\sqrt{3}{}} 2 + \frac{3}{4} ) =$ $= ( \sin 2x + \frac{\sqrt{3}{}} 2 )^{2} + ( \cos x + \frac{\sqrt{3}{}} 2 )^{2}$ Сумма неотрицательных выражений равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из них равно нулю, поэтому исходное уравнение равносильно системе: $система выражений \sin 2x = - \frac{\sqrt{3}{}} 2, \cos x = - \frac{\sqrt{3}{}} 2 конец системы . \Leftrightarrow система выражений 2 \sin x \cos x = - \frac{\sqrt{3}{}} 2, \cos x = - \frac{\sqrt{3}{}} 2 конец системы . \Leftrightarrow система выражений \sin x = \frac{1}{2} , \cos x = - \frac{\sqrt{3}{}} 2 конец системы . \Leftrightarrow x = \frac{5 Пи}{6} + 2 Пи k, k \in Z$ $система выражений \sin 2x = - \frac{\sqrt{3}{}} 2, \cos x = - \frac{\sqrt{3}{}} 2 конец системы . \Leftrightarrow система выражений 2 \sin x \cos x = - \frac{\sqrt{3}{}} 2, \cos x = - \frac{\sqrt{3}{}} 2 конец системы . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений \sin x = \frac{1}{2} , \cos x = - \frac{\sqrt{3}{}} 2 конец системы . \Leftrightarrow x = \frac{5 Пи}{6} + 2 Пи k, k \in Z$ б) При $k \leqslant 0$ члены серии не больше $\frac{5 Пи}{6} ,$ а потому все они лежат левее отрезка $[ \frac{5 Пи}{2} ; 5 Пи ]$ Значению $k = 1$ соответствует член $\frac{5 Пи }6 + 2 Пи = \frac{{}{1} 7 Пи}{6} ,$ он лежит в отрезке.