Присоединиться

Математика·Уравнения·11 класс

а) Решите уравнение $\operatorname{tg} x ( 1 - 2 \sin x ) - 2 \cos x =

Условие

а) Решите уравнение tg⁡x(1−2sin⁡x)−2cos⁡x=−3\operatorname{tg} x ( 1 - 2 \sin x ) - 2 \cos x = - \sqrt{3} б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку [−Пи;3Пи2][ - Пи ; \frac{3 Пи}{2} ] Критерии оценивания выполнения задания | Баллы | Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2 | Обоснованно получен верный ответ в пункте а),ИЛИполучены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б) | 1 | Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 | Максимальный балл | 2 |

Ответ

а) @@M30@@ б) @@M31@@

Решение по шагам

  1. Как рассуждать

    Решение. а) Сведем уравнение к более простому, затем решим полученное уравнение введением вспомогательного угла: sin⁡xcos⁡x⋅(1−2sin⁡x)−2cos⁡x=−3⇔системавыраженийsin⁡x−2sin⁡2x−2cos⁡2x=−3cos⁡x,cos⁡x≠q0конецсистемы.⇔\frac{\sin x}{\cos x} \cdot ( 1 - 2 \sin x ) - 2 \cos x = - \sqrt{3} \Leftrightarrow система выражений \sin x - 2 \sin^{2} x - 2 \cos^{2} x = - \sqrt{3} \cos x, \cos x \neq q 0 конец системы . \Leftrightarrow ⇔системавыражений3cos⁡x+sin⁡x=2,cos⁡x≠q0конецсистемы.⇔системавыражений32cos⁡x+12sin⁡x=1,cos⁡x≠q0конецсистемы.⇔\Leftrightarrow система выражений \sqrt{3} \cos x + \sin x = 2, \cos x \neq q 0 конец системы . \Leftrightarrow система выражений \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x = 1, \cos x \neq q 0 конец системы . \Leftrightarrow ⇔системавыраженийcos⁡(x−Пи6)=1,cos⁡x≠q0конецсистемы.⇔системавыраженийx−Пи6=2Пиk,cos⁡x≠q0конецсистемы.⇔x=Пи6+2Пиk,k∈Z\Leftrightarrow система выражений \cos ( x - \frac{Пи}{6} ) = 1, \cos x \neq q 0 конец системы . \Leftrightarrow система выражений x - \frac{Пи}{6} = 2 Пи k, \cos x \neq q 0 конец системы . \Leftrightarrow x = \frac{Пи}{6} + 2 Пи k, k \in Z sin⁡xcos⁡x⋅(1−2sin⁡x)−2cos⁡x=−3⇔\frac{\sin x}{\cos x} \cdot ( 1 - 2 \sin x ) - 2 \cos x = - \sqrt{3} \Leftrightarrow ⇔системавыраженийsin⁡x−2sin⁡2x−2cos⁡2x=−3cos⁡x,cos⁡x≠q0конецсистемы.⇔системавыражений3cos⁡x+sin⁡x=2,cos⁡x≠q0конецсистемы.⇔\Leftrightarrow система выражений \sin x - 2 \sin^{2} x - 2 \cos^{2} x = - \sqrt{3} \cos x, \cos x \neq q 0 конец системы . \Leftrightarrow система выражений \sqrt{3} \cos x + \sin x = 2, \cos x \neq q 0 конец системы . \Leftrightarrow ⇔системавыражений32cos⁡x+12sin⁡x=1,cos⁡x≠q0конецсистемы.⇔системавыраженийcos⁡(x−Пи6)=1,cos⁡x≠q0конецсистемы.⇔\Leftrightarrow система выражений \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x = 1, \cos x \neq q 0 конец системы . \Leftrightarrow система выражений \cos ( x - \frac{Пи}{6} ) = 1, \cos x \neq q 0 конец системы . \Leftrightarrow ⇔системавыраженийx−Пи6=2Пиk,cos⁡x≠q0конецсистемы.⇔x=Пи6+2Пиk,k∈Z\Leftrightarrow система выражений x - \frac{Пи}{6} = 2 Пи k, \cos x \neq q 0 конец системы . \Leftrightarrow x = \frac{Пи}{6} + 2 Пи k, k \in Z sin⁡xcos⁡x⋅(1−2sin⁡x)−2cos⁡x=−3⇔\frac{\sin x}{\cos x} \cdot ( 1 - 2 \sin x ) - 2 \cos x = - \sqrt{3} \Leftrightarrow ⇔системавыраженийsin⁡x−2sin⁡2x−2cos⁡2x=−3cos⁡x,cos⁡x≠q0конецсистемы.⇔\Leftrightarrow система выражений \sin x - 2 \sin^{2} x - 2 \cos^{2} x = - \sqrt{3} \cos x, \cos x \neq q 0 конец системы . \Leftrightarrow ⇔системавыражений3cos⁡x+sin⁡x=2,cos⁡x≠q0конецсистемы.⇔системавыражений32cos⁡x+12sin⁡x=1,cos⁡x≠q0конецсистемы.⇔\Leftrightarrow система выражений \sqrt{3} \cos x + \sin x = 2, \cos x \neq q 0 конец системы . \Leftrightarrow система выражений \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x = 1, \cos x \neq q 0 конец системы . \Leftrightarrow ⇔системавыраженийcos⁡(x−Пи6)=1,cos⁡x≠q0конецсистемы.⇔системавыраженийx−Пи6=2Пиk,cos⁡x≠q0конецсистемы.⇔x=Пи6+2Пиk,k∈Z\Leftrightarrow система выражений \cos ( x - \frac{Пи}{6} ) = 1, \cos x \neq q 0 конец системы . \Leftrightarrow система выражений x - \frac{Пи}{6} = 2 Пи k, \cos x \neq q 0 конец системы . \Leftrightarrow x = \frac{Пи}{6} + 2 Пи k, k \in Z sin⁡xcos⁡x⋅(1−2sin⁡x)−2cos⁡x=−3⇔\frac{\sin x}{\cos x} \cdot ( 1 - 2 \sin x ) - 2 \cos x = - \sqrt{3} \Leftrightarrow ⇔системавыраженийsin⁡x−2sin⁡2x−2cos⁡2x=−3cos⁡x,cos⁡x≠q0конецсистемы.⇔\Leftrightarrow система выражений \sin x - 2 \sin^{2} x - 2 \cos^{2} x = - \sqrt{3} \cos x, \cos x \neq q 0 конец системы . \Leftrightarrow ⇔системавыражений3cos⁡x+sin⁡x=2,cos⁡x≠q0конецсистемы.⇔\Leftrightarrow система выражений \sqrt{3} \cos x + \sin x = 2, \cos x \neq q 0 конец системы . \Leftrightarrow ⇔системавыражений32cos⁡x+12sin⁡x=1,cos⁡x≠q0конецсистемы.⇔системавыраженийcos⁡(x−Пи6)=1,cos⁡x≠q0конецсистемы.⇔\Leftrightarrow система выражений \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x = 1, \cos x \neq q 0 конец системы . \Leftrightarrow система выражений \cos ( x - \frac{Пи}{6} ) = 1, \cos x \neq q 0 конец системы . \Leftrightarrow ⇔системавыраженийx−Пи6=2Пиk,cos⁡x≠q0конецсистемы.⇔x=Пи6+2Пиk,k∈Z\Leftrightarrow система выражений x - \frac{Пи}{6} = 2 Пи k, \cos x \neq q 0 конец системы . \Leftrightarrow x = \frac{Пи}{6} + 2 Пи k, k \in Z sin⁡xcos⁡x⋅(1−2sin⁡x)−2cos⁡x=−3⇔\frac{\sin x}{\cos x} \cdot ( 1 - 2 \sin x ) - 2 \cos x = - \sqrt{3} \Leftrightarrow ⇔системавыраженийsin⁡x−2sin⁡2x−2cos⁡2x=−3cos⁡x,cos⁡x≠q0конецсистемы.⇔\Leftrightarrow система выражений \sin x - 2 \sin^{2} x - 2 \cos^{2} x = - \sqrt{3} \cos x, \cos x \neq q 0 конец системы . \Leftrightarrow ⇔системавыражений3cos⁡x+sin⁡x=2,cos⁡x≠q0конецсистемы.⇔\Leftrightarrow система выражений \sqrt{3} \cos x + \sin x = 2, \cos x \neq q 0 конец системы . \Leftrightarrow ⇔системавыражений32cos⁡x+12sin⁡x=1,cos⁡x≠q0конецсистемы.⇔\Leftrightarrow система выражений \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x = 1, \cos x \neq q 0 конец системы . \Leftrightarrow ⇔системавыраженийcos⁡(x−Пи6)=1,cos⁡x≠q0конецсистемы.⇔\Leftrightarrow система выражений \cos ( x - \frac{Пи}{6} ) = 1, \cos x \neq q 0 конец системы . \Leftrightarrow ⇔системавыраженийx−Пи6=2Пиk,cos⁡x≠q0конецсистемы.⇔x=Пи6+2Пиk,k∈Z\Leftrightarrow система выражений x - \frac{Пи}{6} = 2 Пи k, \cos x \neq q 0 конец системы . \Leftrightarrow x = \frac{Пи}{6} + 2 Пи k, k \in Z б) Отберем корни при помощи двойного неравенства: минусПи⩽Пи6+2Пиk⩽3Пи2⇔−1⩽16+2k⩽32⇔−76⩽2k⩽43⇔−712⩽k⩽23∈kZ⇔k=0минус Пи \leqslant \frac{Пи}{6} + 2 Пи k \leqslant \frac{3 Пи}{2} \Leftrightarrow - 1 \leqslant \frac{1}{6} + 2k \leqslant \frac{3}{2} \Leftrightarrow - \frac{7}{6} \leqslant 2k \leqslant \frac{4}{3} \Leftrightarrow - \frac{7}{12} \leqslant k \leqslant \frac{2}{3} \underset k \in Z \mathop \Leftrightarrow k = 0 минусПи⩽Пи6+2Пиk⩽3Пи2⇔−1⩽16+2k⩽32⇔минус Пи \leqslant \frac{Пи}{6} + 2 Пи k \leqslant \frac{3 Пи}{2} \Leftrightarrow - 1 \leqslant \frac{1}{6} + 2k \leqslant \frac{3}{2} \Leftrightarrow ⇔−76⩽2k⩽43⇔−712⩽k⩽23∈kZ⇔k=0\Leftrightarrow - \frac{7}{6} \leqslant 2k \leqslant \frac{4}{3} \Leftrightarrow - \frac{7}{12} \leqslant k \leqslant \frac{2}{3} \underset k \in Z \mathop \Leftrightarrow k = 0 Найденному значению параметра соответствует число Пи6\frac{Пи}{6} Ответ: а) {Пи6+2Пиk:k∈Z}\{ \frac{Пи}{6} + 2 Пи k : k \in Z \} б) Пи6\frac{Пи}{6}

Осталось ещё 1 шаг — откроются после входа:

  • Полный разбор с проверкой ответа
Получить полное решение

Бесплатно · займёт минуту

Другие задачи по теме «Уравнения»

X - \frac{1}{2} ) - 8 \cdot 3 в степени ( x - 1 ) + 5=0$ б) Найдите все11 класса) Решите уравнение: $4 в степени ( x ) - 2 в степени ( x + 3 ) + 15=0$11 класса) Решите уравнение $27^{x} - 5 \cdot 9^{x} - 3 в степени ( x + 2 ) +11 классX^{2} - 2x + 1 ) + 4 в степени ( x^{2} - 2x ) =20$ б) Найдите все корни11 класса) Решите уравнение $3 \cdot 9 в степени ( x - \frac{1}{2} ) - 7 \cdot11 класс
Похожая задача?Сфотографируйте своё условие — ИИ разберёт его по шагам так же
а) Решите уравнение $\operatorname{tg} x ( 1 - 2 \sin x ) - 2 \cos x = — решение с объяснением | Lom Ai