а) Решите уравнение $\operatorname{tg} 2x + \frac{1}{\sin x} = \ctg x +

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. а) Найдем область определения уравнения: $система выражений \cos 2x \neq q 0, \sin x \neq q 0, \sin 5x \neq q 0 конец системы . \Leftrightarrow система выражений 2x \neq q \frac{Пи}{2} + Пи m, x \neq q Пи q, 5x \neq q Пи l, конец системы . \Leftrightarrow система выражений x \neq \frac{Пи}{4} + \frac{Пи m}{2} , x \neq \frac{Пи l}{5} , конец системы . m, q, l \in Z$ Преобразуем уравнение при этих ограничениях: $\operatorname{tg} 2x + \frac{1}{\sin x} = \ctg x + \frac{1}{\sin 5x} \Leftrightarrow \operatorname{tg} 2x - \ctg x = \frac{1}{\sin 5x} - \frac{1}{\sin x} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \frac{\sin x \sin 2x - \cos x \cos 2x}{\sin x \cos 2x} = \frac{\sin x - \sin 5x}{\sin x \sin 5x} \Leftrightarrow \frac{\cos 3x}{\cos 2x} + \frac{2 \sin 2x \cos 3x}{\sin 5x} = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \frac{\cos 3x ( \sin 5x + 2 \sin 2x \cos 2x )}{\cos 2x \sin 5x} = 0 \Leftrightarrow \cos 3x ( \sin 5x + \sin 4x ) = 0 \Leftrightarrow 2 \cos 3x \sin \frac{x}{2} \cos \frac{9x}{2} = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow совокупность выражений \cos 3x = 0, \cos \frac{9x}{2} = 0 конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений 3x = \frac{Пи}{2} + Пи n, \frac{9x}{2} = \frac{Пи}{2} + Пи k конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений x = \frac{Пи}{6} + \frac{Пи n}{3} , x = \frac{Пи}{9} + \frac{2 Пи k}{9} , конец совокупности . k, n \in Z$ $\operatorname{tg} 2x + \frac{1}{\sin x} = \ctg x + \frac{1}{\sin 5x} \Leftrightarrow \operatorname{tg} 2x - \ctg x = \frac{1}{\sin 5x} - \frac{1}{\sin x} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \frac{\sin x \sin 2x - \cos x \cos 2x}{\sin x \cos 2x} = \frac{\sin x - \sin 5x}{\sin x \sin 5x} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \frac{\cos 3x}{\cos 2x} + \frac{2 \sin 2x \cos 3x}{\sin 5x} = 0 \Leftrightarrow \frac{\cos 3x ( \sin 5x + 2 \sin 2x \cos 2x )}{\cos 2x \sin 5x} = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \cos 3x ( \sin 5x + \sin 4x ) = 0 \Leftrightarrow 2 \cos 3x \sin \frac{x}{2} \cos \frac{9x}{2} = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow совокупность выражений \cos 3x = 0, \cos \frac{9x}{2} = 0 конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений 3x = \frac{Пи}{2} + Пи n, \frac{9x}{2} = \frac{Пи}{2} + Пи k конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений x = \frac{Пи}{6} + \frac{Пи n}{3} , x = \frac{Пи}{9} + \frac{2 Пи k}{9} , конец совокупности . k, n \in Z$ $\operatorname{tg} 2x + \frac{1}{\sin x} = \ctg x + \frac{1}{\sin 5x} \Leftrightarrow \operatorname{tg} 2x - \ctg x = \frac{1}{\sin 5x} - \frac{1}{\sin x} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \frac{\sin x \sin 2x - \cos x \cos 2x}{\sin x \cos 2x} = \frac{\sin x - \sin 5x}{\sin x \sin 5x} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \frac{\cos 3x}{\cos 2x} + \frac{2 \sin 2x \cos 3x}{\sin 5x} = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \frac{\cos 3x ( \sin 5x + 2 \sin 2x \cos 2x )}{\cos 2x \sin 5x} = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \cos 3x ( \sin 5x + \sin 4x ) = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 2 \cos 3x \sin \frac{x}{2} \cos \frac{9x}{2} = 0 \Leftrightarrow совокупность выражений \cos 3x = 0, \cos \frac{9x}{2} = 0 конец совокупности . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow совокупность выражений 3x = \frac{Пи}{2} + Пи n, \frac{9x}{2} = \frac{Пи}{2} + Пи k конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений x = \frac{Пи}{6} + \frac{Пи n}{3} , x = \frac{Пи}{9} + \frac{2 Пи k}{9} , конец совокупности . k, n \in Z$ $\operatorname{tg} 2x + \frac{1}{\sin x} = \ctg x + \frac{1}{\sin 5x} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \operatorname{tg} 2x - \ctg x = \frac{1}{\sin 5x} - \frac{1}{\sin x} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \frac{\sin x \sin 2x - \cos x \cos 2x}{\sin x \cos 2x} = \frac{\sin x - \sin 5x}{\sin x \sin 5x} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \frac{\cos 3x}{\cos 2x} + \frac{2 \sin 2x \cos 3x}{\sin 5x} = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \frac{\cos 3x ( \sin 5x + 2 \sin 2x \cos 2x )}{\cos 2x \sin 5x} = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \cos 3x ( \sin 5x + \sin 4x ) = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 2 \cos 3x \sin \frac{x}{2} \cos \frac{9x}{2} = 0 \Leftrightarrow совокупность выражений \cos 3x = 0, \cos \frac{9x}{2} = 0 конец совокупности . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow совокупность выражений 3x = \frac{Пи}{2} + Пи n, \frac{9x}{2} = \frac{Пи}{2} + Пи k конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений x = \frac{Пи}{6} + \frac{Пи n}{3} , x = \frac{Пи}{9} + \frac{2 Пи k}{9} , конец совокупности . k, n \in Z$ При $k = 9p + 4,$ $p \in Z$ корни второй серии имеют вид $\frac{Пи + 2 Пи ( 9p + 4 )}{9} = \frac{18 Пи p + 9 Пи}{9} = Пи + 2 Пи p, p \in Z$ В этих точках $\sin x = 0,$ поэтому окончательный ответ есть $x = \frac{Пи}{6} + \frac{Пи n}{3} ,$ $x = \frac{Пи}{9} + \frac{2 Пи k}{9} ,$ $k \in Z \setminus \{ 9p + 4 : p \in Z \}$ б) Точки 0 и Пи не удовлетворяют ограничениям, поэтому будем искать корни уравнения, принадлежащие интервалу ( 0; Пи ) Отберем корни при помощи двойного неравенства. Для $x = \frac{Пи}{6} + \frac{Пи n}{3}$ находим: $0 < \frac{Пи}{6} + \frac{Пи n}{3} < Пи \Leftrightarrow 0 < Пи + 2 Пи n < 6 Пи \Leftrightarrow 0 < 1 + 2n < 6 \Leftrightarrow$ \Leftrightarrow - 1 < 2n < 5 \Leftrightarrow - $\frac{1}{2}$ < n < $\frac{5}{2}$ \underset n \in Z \mathop \Leftrightarrow совокупность выражений n = 0, n = 1, n =