а) Решите уравнение $\operatorname{tg}^{2} x - \frac{1}{\cos^{2} x} + 2

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. а) Испольщуем следствие из основного тригонометрического тождества: $1 + \operatorname{tg}^{2} альфа = \frac{1}{\cos^{2} x} ,$ получаем: $\operatorname{tg}^{2} x - ( \operatorname{tg}^{2} x + 1 ) + 2 \sin^{2} x + \sin x = 0 \Leftrightarrow система выражений \cos x \neq 0,2 \sin^{2} x + \sin x - 1 = 0 конец системы . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений \cos x \neq 0, совокупность выражений \sin x = - 1, \sin x = \frac{1}{2} конец системы . конец совокупности . \Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow совокупность выражений x= \frac{Пи}{6} + 2 Пи k, x= \frac{5 Пи}{6} + 2 Пи n, конец совокупности .k, n \in Z$ $\operatorname{tg}^{2} x - ( \operatorname{tg}^{2} x + 1 ) + 2 \sin^{2} x + \sin x = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений \cos x \neq 0,2 \sin^{2} x + \sin x - 1 = 0 конец системы . \Leftrightarrow система выражений \cos x \neq 0, совокупность выражений \sin x = - 1, \sin x = \frac{1}{2} конец системы . конец совокупности . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow совокупность выражений x= \frac{Пи}{6} + 2 Пи k, x= \frac{5 Пи}{6} + 2 Пи n, конец совокупности .k, n \in Z$ б) Отберем корни при помощи двойного неравенства. Для первой серии получаем: минус 4 Пи \leqslant $\frac{Пи}{6}$ + 2 Пи k\leqslant - $\frac{Пи}{2}$ \Leftrightarrow - целая часть: 4, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 6 \leqslant 2k\leqslant - $\frac{2}{3}$ \Leftrightarrow - целая часть: 2, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 12 \leqslant k\leqslant - $\frac{1}{3}$ \Leftrightarrow совокупность выражений k= - 2,k= -