а) Решите уравнение $\operatorname{tg} 2 x=2 \cos 2 x \cdot \ctg x$ б)

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. [рисунок] a) Уравнение определено при $\cos 2x \not= 0$ и $\sin x\not =0$ Преобразуем уравнение при этих условиях: $\operatorname{tg} 2 x=2 \cos 2 x \cdot \ctg x \Leftrightarrow \frac{\sin 2x}{\cos 2x} = 2 \cos 2 x \cdot \frac{\cos x}{\sin x} \Leftrightarrow \frac{2 \sin x \cos x}{\cos 2x} = 2 \cos 2 x \cdot \frac{\cos x}{\sin x} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \sin^{2} x \cos x= \cos^{2} 2x \cos x \Leftrightarrow \cos x ( \cos^{2} 2x - \sin^{2} x ) =0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \cos x ( \cos 2x - \sin x ) ( \cos 2x + \sin x ) = 0 \Leftrightarrow совокупность выражений \cos x = 0, \cos 2x - \sin x = 0, \cos 2x + \sin x =0 конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений \cos x = 0, \cos 2x - \sin x = 0, \cos 2x + \sin x =0 конец совокупности . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow совокупность выражений \cos x = 0, 2 \sin^{2} x + \sin x - 1 = 0, 2 \sin^{2} x - \sin x - 1 = 0 конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений \cos x = 0, \sin x=\pm \frac{1}{2} , \sin x=\pm 1 конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений x= \frac{Пи }2 + Пи k, x=\pm \frac{Пи}{6} + Пи k, конец совокупности .k \in \mathbb{Z}{.}$ $\operatorname{tg} 2 x=2 \cos 2 x \cdot \ctg x \Leftrightarrow \frac{\sin 2x}{\cos 2x} = 2 \cos 2 x \cdot \frac{\cos x}{\sin x} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \frac{2 \sin x \cos x}{\cos 2x} = 2 \cos 2 x \cdot \frac{\cos x}{\sin x} \Leftrightarrow \sin^{2} x \cos x= \cos^{2} 2x \cos x \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \cos x ( \cos^{2} 2x - \sin^{2} x ) =0 \Leftrightarrow \cos x ( \cos 2x - \sin x ) ( \cos 2x + \sin x ) = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow совокупность выражений \cos x = 0, \cos 2x - \sin x = 0, \cos 2x + \sin x =0 конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений \cos x = 0, \cos 2x - \sin x = 0, \cos 2x + \sin x =0 конец совокупности . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow совокупность выражений \cos x = 0, 2 \sin^{2} x + \sin x - 1 = 0, 2 \sin^{2} x - \sin x - 1 = 0 конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений \cos x = 0, \sin x=\pm \frac{1}{2} , \sin x=\pm 1 конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений x= \frac{Пи }2 + Пи k, x=\pm \frac{Пи}{6} + Пи k, конец совокупности .k \in \mathbb{Z}{.}$ $\operatorname{tg} 2 x=2 \cos 2 x \cdot \ctg x \Leftrightarrow \frac{\sin 2x}{\cos 2x} = 2 \cos 2 x \cdot \frac{\cos x}{\sin x} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \frac{2 \sin x \cos x}{\cos 2x} = 2 \cos 2 x \cdot \frac{\cos x}{\sin x} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \sin^{2} x \cos x= \cos^{2} 2x \cos x \Leftrightarrow \cos x ( \cos^{2} 2x - \sin^{2} x ) =0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \cos x ( \cos 2x - \sin x ) ( \cos 2x + \sin x ) = 0 \Leftrightarrow совокупность выражений \cos x = 0, \cos 2x - \sin x = 0, \cos 2x + \sin x =0 конец совокупности . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow совокупность выражений \cos x = 0, \cos 2x - \sin x = 0, \cos 2x + \sin x =0 конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений \cos x = 0, 2 \sin^{2} x + \sin x - 1 = 0, 2 \sin^{2} x - \sin x - 1 = 0 конец совокупности . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow совокупность выражений \cos x = 0, \sin x=\pm \frac{1}{2} , \sin x=\pm 1 конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений x= \frac{Пи }2 + Пи k, x=\pm \frac{Пи}{6} + Пи k, конец совокупности .k \in \mathbb{Z}{.}$ $\operatorname{tg} 2 x=2 \cos 2 x \cdot \ctg x \Leftrightarrow \frac{\sin 2x}{\cos 2x} = 2 \cos 2 x \cdot \frac{\cos x}{\sin x} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \frac{2 \sin x \cos x}{\cos 2x} = 2 \cos 2 x \cdot \frac{\cos x}{\sin x} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \sin^{2} x \cos x= \cos^{2} 2x \cos x \Leftrightarrow \cos x ( \cos^{2} 2x - \sin^{2} x ) =0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \cos x ( \cos 2x - \sin x ) ( \cos 2x + \sin x ) = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow совокупность выражений \cos x = 0, \cos 2x - \sin x = 0, \cos 2x + \sin x =0 конец совокупности . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow совокупность выражений \cos x = 0, \cos 2x - \sin x = 0, \cos 2x + \sin x =0 конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений \cos x = 0, 2 \sin^{2} x + \sin x - 1 = 0, 2 \sin^{2} x - \sin x - 1 = 0 конец совокупности . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow совокупность выражений \cos x = 0, \sin x=\pm \frac{1}{2} , \sin x=\pm 1 конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений x= \frac{Пи }2 + Пи k, x=\pm \frac{Пи}{6} + Пи k, конец совокупности .k \in \mathbb{Z}{.}$ $\operatorname{tg} 2 x=2 \cos 2 x \cdot \ctg x \Leftrightarrow \frac{\sin 2x}{\cos 2x} = 2 \cos 2 x \cdot \frac{\cos x}{\sin x} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \frac{2 \sin x \cos x}{\cos 2x} = 2 \cos 2 x \cdot \frac{\cos x}{\sin x} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \sin^{2} x \cos x= \cos^{2} 2x \cos x \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \cos x ( \cos^{2} 2x - \sin^{2} x ) =0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \cos x ( \cos 2x - \sin x ) ( \cos 2x + \sin x ) = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow совокупность выражений \cos x = 0, \cos 2x - \sin x = 0, \cos 2x + \sin x =0 конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений \cos x = 0, \cos 2x - \sin x = 0, \cos 2x + \sin x =0 конец совокупности . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow совокупность выражений \cos x = 0, 2 \sin^{2} x + \sin x - 1 = 0, 2 \sin^{2} x - \sin x - 1 = 0 конец совокупности . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow совокупность выражений \cos x = 0, \sin x=\pm \frac{1}{2} , \sin x=\pm 1 конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений x= \frac{Пи }2 + Пи k, x=\pm \frac{Пи}{6} + Пи k, конец совокупности .k \in \mathbb{Z}{.}$ Числа, содержащиеся в найденных сериях решений, удовлетворяют условиям $\cos 2x \not= 0$ и $\sin x\not =0$ б) Отберем корни при помощи единичной окружности (см. рис.).