Присоединиться

11 класс·средний уровень

а) Решите уравнение $\frac{\sqrt{\cos^{2} x - \cos x}}{\sin x} - 1 = 0$

Условие

а) Решите уравнение cos⁡2x−cos⁡xsin⁡x−1=0\frac{\sqrt{\cos^{2} x - \cos x}}{\sin x} - 1 = 0 б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку [ - 5 Пи ; - Пи ]

Ответ

Ответ и полный разбор откроются после входа

Посмотреть ответ

Решение по шагам

  1. Как рассуждать

    Решение. а) При sin⁡x⩽0\sin x \leqslant 0 уравнение не имеет решений. При sin⁡x>0\sin x > 0 обе части уравнения можно умножить на sin⁡x,\sin x, откуда, используя тождество sin⁡2x=1−cos⁡2x,\sin^{2} x = 1 - \cos^{2} x, находим: cos⁡2x−cos⁡xsin⁡x=1⇔системавыраженийcos⁡2x−cos⁡x=sin⁡x,sin⁡x>0конецсистемы.⇔системавыраженийcos⁡2x−cos⁡x=sin⁡2x,sin⁡x>0конецсистемы.⇔\frac{\sqrt{\cos^{2} x - \cos x}}{\sin x} = 1 \Leftrightarrow система выражений \sqrt{\cos^{2} x - \cos x} = \sin x, \sin x > 0 конец системы . \Leftrightarrow система выражений \cos^{2} x - \cos x = \sin^{2} x, \sin x > 0 конец системы . \Leftrightarrow ⇔системавыражений2cos⁡2x−cos⁡x−1=0,sin⁡x>0конецсистемы.⇔системавыраженийсовокупностьвыраженийcos⁡x=1,cos⁡x=−12конецсистемы.sin⁡x>0конецсовокупности.⇔системавыраженийcos⁡x=−12,sin⁡x>0конецсистемы.⇔x=2Пи3+2Пиk,k∈Z\Leftrightarrow система выражений 2 \cos^{2} x - \cos x - 1 = 0, \sin x > 0 конец системы . \Leftrightarrow система выражений совокупность выражений \cos x = 1, \cos x = - \frac{1}{2} конец системы . \sin x > 0 конец совокупности . \Leftrightarrow система выражений \cos x = - \frac{1}{2} , \sin x > 0 конец системы . \Leftrightarrow x = \frac{2 Пи}{3} + 2 Пи k, k \in Z cos⁡2x−cos⁡xsin⁡x=1⇔системавыраженийcos⁡2x−cos⁡x=sin⁡x,sin⁡x>0конецсистемы.⇔\frac{\sqrt{\cos^{2} x - \cos x}}{\sin x} = 1 \Leftrightarrow система выражений \sqrt{\cos^{2} x - \cos x} = \sin x, \sin x > 0 конец системы . \Leftrightarrow ⇔системавыраженийcos⁡2x−cos⁡x=sin⁡2x,sin⁡x>0конецсистемы.⇔системавыражений2cos⁡2x−cos⁡x−1=0,sin⁡x>0конецсистемы.⇔\Leftrightarrow система выражений \cos^{2} x - \cos x = \sin^{2} x, \sin x > 0 конец системы . \Leftrightarrow система выражений 2 \cos^{2} x - \cos x - 1 = 0, \sin x > 0 конец системы . \Leftrightarrow ⇔системавыраженийсовокупностьвыраженийcos⁡x=1,cos⁡x=−12конецсистемы.sin⁡x>0конецсовокупности.⇔системавыраженийcos⁡x=−12,sin⁡x>0конецсистемы.⇔x=2Пи3+2Пиk,k∈Z\Leftrightarrow система выражений совокупность выражений \cos x = 1, \cos x = - \frac{1}{2} конец системы . \sin x > 0 конец совокупности . \Leftrightarrow система выражений \cos x = - \frac{1}{2} , \sin x > 0 конец системы . \Leftrightarrow x = \frac{2 Пи}{3} + 2 Пи k, k \in Z cos⁡2x−cos⁡xsin⁡x=1⇔системавыраженийcos⁡2x−cos⁡x=sin⁡x,sin⁡x>0конецсистемы.⇔\frac{\sqrt{\cos^{2} x - \cos x}}{\sin x} = 1 \Leftrightarrow система выражений \sqrt{\cos^{2} x - \cos x} = \sin x, \sin x > 0 конец системы . \Leftrightarrow ⇔системавыраженийcos⁡2x−cos⁡x=sin⁡2x,sin⁡x>0конецсистемы.⇔\Leftrightarrow система выражений \cos^{2} x - \cos x = \sin^{2} x, \sin x > 0 конец системы . \Leftrightarrow ⇔системавыражений2cos⁡2x−cos⁡x−1=0,sin⁡x>0конецсистемы.⇔системавыраженийсовокупностьвыраженийcos⁡x=1,cos⁡x=−12конецсистемы.sin⁡x>0конецсовокупности.⇔\Leftrightarrow система выражений 2 \cos^{2} x - \cos x - 1 = 0, \sin x > 0 конец системы . \Leftrightarrow система выражений совокупность выражений \cos x = 1, \cos x = - \frac{1}{2} конец системы . \sin x > 0 конец совокупности . \Leftrightarrow ⇔системавыраженийcos⁡x=−12,sin⁡x>0конецсистемы.⇔x=2Пи3+2Пиk,k∈Z\Leftrightarrow система выражений \cos x = - \frac{1}{2} , \sin x > 0 конец системы . \Leftrightarrow x = \frac{2 Пи}{3} + 2 Пи k, k \in Z б) Отберем корни при помощи двойного неравенства: минус5Пи⩽2Пи3+2Пиk⩽−Пи⇔−5⩽23+2k⩽−1⇔−15⩽2+6k⩽−3⇔минус 5 Пи \leqslant \frac{2 Пи}{3} + 2 Пи k \leqslant - Пи \Leftrightarrow - 5 \leqslant \frac{2}{3} + 2k \leqslant - 1 \Leftrightarrow - 15 \leqslant 2 + 6k \leqslant - 3 \Leftrightarrow \Leftrightarrow - 17 \leqslant 6k \leqslant - 5 \Leftrightarrow - 176\frac{17}{6} \leqslant k \leqslant - 56\frac{5}{6} \underset k \in Z \mathop \Leftrightarrow совокупность выражений k = - 1, k = -

Осталось ещё 2 шага

  1. конец совокупности минус 5 Пи 2 Пи/3 + 2 Пи k…

  2. конец совокупности Найденным значениям…

Получить полное решение

Бесплатно · займёт минуту

Другие задачи по теме «Уравнения»

X - \frac{1}{2} ) - 8 \cdot 3 в степени ( x - 1 ) + 5=0$ б) Найдите все11 класса) Решите уравнение: $4 в степени ( x ) - 2 в степени ( x + 3 ) + 15=0$11 класса) Решите уравнение $27^{x} - 5 \cdot 9^{x} - 3 в степени ( x + 2 ) +11 классX^{2} - 2x + 1 ) + 4 в степени ( x^{2} - 2x ) =20$ б) Найдите все корни11 класса) Решите уравнение $3 \cdot 9 в степени ( x - \frac{1}{2} ) - 7 \cdot11 класс
Похожая задача?Сфотографируйте своё условие — ИИ разберёт его по шагам так же
а) Решите уравнение $\frac{\sqrt{\cos^{2} x - \cos x}}{\sin x} - 1 = 0$ — решение с объяснением | Lom Ai