а) Решите уравнение $\frac{\sin x}{\sin^{2} \frac{x}{2}} =4{ \cos^{2}

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. а) Заметим, что в силу формулы $\sin 2x=2 \sin x \cos x$ справедлива формула $\sin x=2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} ,$ откуда 4{ \sin^{2} \frac{x}{2} \cos^{2} \frac{x}{2} = \sin^{2} x Имеем: $\frac{\sin x}{\sin^{2} \frac{x}{2}} =4 \cos^{2} \frac{x}{2} \Leftrightarrow система выражений новая строка \sin^{2} \frac{x}{2} \neq 0, новая строка \sin x=4 \sin^{2} \frac{x}{2} \cos^{2} \frac{x}{2} конец системы . \Leftrightarrow система выражений новая строка \sin \frac{x}{2} \neq 0, новая строка \sin x= \sin^{2} x конец системы . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений новая строка \sin \frac{x}{2} \neq 0, новая строка совокупность выражений новая строка \sin x=0, новая строка \sin x=1 конец системы . конец совокупности . \Leftrightarrow система выражений новая строка \frac{x}{2} \neq Пи n, новая строка совокупность выражений новая строка x= Пи k, новая строка x= \frac{Пи}{2} + 2 Пи k, конец системы . конец совокупности . \Leftrightarrow система выражений новая строка x \neq 2 Пи n, новая строка совокупность выражений новая строка x= Пи k, новая строка x= \frac{Пи}{2} + 2 Пи k, конец системы . конец совокупности .k,n \in Z \Leftrightarrow совокупность выражений новая строка x= Пи + 2 Пи k, новая строка x= \frac{Пи}{2} + 2 Пи k, конец совокупности .k \in Z$ $\Leftrightarrow система выражений новая строка \sin \frac{x}{2} \neq 0, новая строка совокупность выражений новая строка \sin x=0, новая строка \sin x=1 конец системы . конец совокупности . \Leftrightarrow система выражений новая строка \frac{x}{2} \neq Пи n, новая строка совокупность выражений новая строка x= Пи k, новая строка x= \frac{Пи}{2} + 2 Пи k, конец системы . конец совокупности . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений новая строка x \neq 2 Пи n, новая строка совокупность выражений новая строка x= Пи k, новая строка x= \frac{Пи}{2} + 2 Пи k, конец системы . конец совокупности .k,n \in Z \Leftrightarrow совокупность выражений новая строка x= Пи + 2 Пи k, новая строка x= \frac{Пи}{2} + 2 Пи k, конец совокупности .k \in Z$ $\Leftrightarrow система выражений новая строка \sin \frac{x}{2} \neq 0, новая строка совокупность выражений новая строка \sin x=0, новая строка \sin x=1 конец системы . конец совокупности . \Leftrightarrow система выражений новая строка \frac{x}{2} \neq Пи n, новая строка совокупность выражений новая строка x= Пи k, новая строка x= \frac{Пи}{2} + 2 Пи k, конец системы . конец совокупности . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений новая строка x \neq 2 Пи n, новая строка совокупность выражений новая строка x= Пи k, новая строка x= \frac{Пи}{2} + 2 Пи k, конец системы . конец совокупности .k,n \in Z \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow совокупность выражений новая строка x= Пи + 2 Пи k, новая строка x= \frac{Пи}{2} + 2 Пи k, конец совокупности .k \in Z$ б) Неотрицательным значениям параметра k соответствуют положительные значения корней; они не лежат на отрезке $[ - \frac{9 Пи}{2} ; - 3 Пи ]$ Будем последовательно перебирать отрицательные значения параметра: значению $k= - 1$ соответствуют корни минус Пи и $минус \frac{3 Пи}{2}$ значению $k= - 2$ соответствуют корни минус 3 Пи и $минус \frac{7 Пи}{2}$ значению $k= - 3$ соответствуют корни минус 5 Пи и $минус \frac{11 Пи}{2}$ Меньшим значениям k соответствуют меньшие значения корней; они также не лежат на заданном отрезке.