а) Решите уравнение $\frac{\sin^{3} x \cdot \cos 3 x + \cos^{3} x \cdot

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. а) Преобразуем числитель, используя формулы двойных и тройного аргумента: $\sin^{3} x \cdot \cos 3 x + \cos^{3} x \cdot \sin 3 x = \sin^{3} x ( 4 \cos^{3} x - 3 \cos x ) + \cos^{3} x ( 3 \sin x - 4 \sin^{3} x ) =$ $= \sin x \cos x ( 4 \sin^{2} x \cos^{2} x - 3 \sin^{2} x + 3 \cos^{2} x - 4 \cos^{2} x \sin^{2} x ) =$ $= \sin x \cos x ( 3 \cos^{2} x - 3 \sin^{2} x ) = 3 \sin x \cos x ( \cos^{2} x - \sin^{2} x ) = \frac{3}{2} \sin 2x \cos 2x$ $\sin^{3} x \cdot \cos 3 x + \cos^{3} x \cdot \sin 3 x =$ $= \sin^{3} x ( 4 \cos^{3} x - 3 \cos x ) + \cos^{3} x ( 3 \sin x - 4 \sin^{3} x ) =$ $= \sin x \cos x ( 4 \sin^{2} x \cos^{2} x - 3 \sin^{2} x + 3 \cos^{2} x - 4 \cos^{2} x \sin^{2} x ) =$ $= \sin x \cos x ( 3 \cos^{2} x - 3 \sin^{2} x ) = 3 \sin x \cos x ( \cos^{2} x - \sin^{2} x ) = \frac{3}{2} \sin 2x \cos 2x$ $\sin^{3} x \cdot \cos 3 x + \cos^{3} x \cdot \sin 3 x =$ $= \sin^{3} x ( 4 \cos^{3} x - 3 \cos x ) + \cos^{3} x ( 3 \sin x - 4 \sin^{3} x ) =$ $= \sin x \cos x ( 4 \sin^{2} x \cos^{2} x - 3 \sin^{2} x + 3 \cos^{2} x - 4 \cos^{2} x \sin^{2} x ) =$ $= \sin x \cos x ( 3 \cos^{2} x - 3 \sin^{2} x ) =$

   $= 3 \sin x \cos x ( \cos^{2} x - \sin^{2} x ) = \frac{3}{2} \sin 2x \cos 2x$ Таким образом, $\frac{\sin^{3} x \cdot \cos 3 x + \cos^{3} x \cdot \sin 3 x}{	\sin 2 x	} = \frac{3}{4} \Leftrightarrow \frac{\frac{3}{2} \sin 2x \cos 2x}{	\sin 2x	} = \frac{3}{4} \Leftrightarrow \frac{\sin 2x}{	\sin 2x	} \cos 2x = \frac{1}{2}$$\frac{\sin^{3} x \cdot \cos 3 x + \cos^{3} x \cdot \sin 3 x}{	\sin 2 x	} = \frac{3}{4} \Leftrightarrow$
   $\Leftrightarrow \frac{\frac{3}{2} \sin 2x \cos 2x}{	\sin 2x	} = \frac{3}{4} \Leftrightarrow \frac{\sin 2x}{	\sin 2x	} \cos 2x = \frac{1}{2}$ Дробь в левой части уравнения принимает значения 1 или −1. Рассмотрим оба случая.

   Если $\sin 2x > 0,$ то получаем, что $\cos 2x = \frac{1}{2}$ Обоим этим условиям одновременно удовлетворяют лишь числа $2x = \frac{Пи}{3} + 2 Пи k,$ откуда $x = \frac{Пи}{6} + Пи k, k \in Z$ Если $\sin 2x < 0,$ то получаем, что $\cos 2x = - \frac{1}{2}$ Этим условиям одновременно удовлетворяют числа $2x = - \frac{2 Пи}{3} + 2 Пи n,$ а значит, $x = - \frac{Пи}{3} + Пи n, n \in Z$ б) Корни, принадлежащие отрезку [ 2 Пи ; 4 Пи ] , отберем при помощи двойных неравенств: $2 Пи \leqslant \frac{Пи}{6} + Пи k \leqslant 4 Пи \Leftrightarrow \frac{11}{6} \leqslant k \leqslant \frac{23}{6} \Leftrightarrow совокупность выражений k= 2,k= 3; конец совокупности$ 2 Пи \leqslant - $\frac{Пи}{3}$ + Пи n \leqslant 4 Пи \Leftrightarrow $\frac{7}{3}$ \leqslant n \leqslant $\frac{13}{3}$ \Leftrightarrow совокупность выражений n = 3,n =