а) Решите уравнение: $\frac{\sin 2x}{\operatorname{tg} x} =

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. [рисунок] а) Заметим, что уравнение определено при $\sin x\not= 0$ и $\cos x\not= 0$ При этом условии можно приравнять числители: $\sin 2x = \sqrt{2} \sin^{4} \frac{x}{2} - \sqrt{2} \cos^{4} \frac{x}{2} \Leftrightarrow 2 \sin x \cos x= \sqrt{2} ( \sin^{2} \frac{x}{2} - \cos^{2} \frac{x}{2} ) ( \sin^{2} \frac{x}{2} + \cos^{2} \frac{x}{2} ) \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \sqrt{2} \sin x \cos x = - \cos x \Leftrightarrow \cos x ( \sqrt{2} \sin x + 1 ) =0 \Leftrightarrow \sin x = - \frac{1}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow совокупность выражений x= - \frac{Пи}{4} + 2 Пи k, x = - \frac{3 Пи}{4} + 2 Пи k, конец совокупности . k \in Z$ $\sin 2x = \sqrt{2} \sin^{4} \frac{x}{2} - \sqrt{2} \cos^{4} \frac{x}{2} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 2 \sin x \cos x= \sqrt{2} ( \sin^{2} \frac{x}{2} - \cos^{2} \frac{x}{2} ) ( \sin^{2} \frac{x}{2} + \cos^{2} \frac{x}{2} ) \Leftrightarrow \sqrt{2} \sin x \cos x = - \cos x \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \cos x ( \sqrt{2} \sin x + 1 ) =0 \Leftrightarrow \sin x = - \frac{1}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow совокупность выражений x= - \frac{Пи}{4} + 2 Пи k, x = - \frac{3 Пи}{4} + 2 Пи k, конец совокупности . k \in Z$ $\sin 2x = \sqrt{2} \sin^{4} \frac{x}{2} - \sqrt{2} \cos^{4} \frac{x}{2} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 2 \sin x \cos x= \sqrt{2} ( \sin^{2} \frac{x}{2} - \cos^{2} \frac{x}{2} ) ( \sin^{2} \frac{x}{2} + \cos^{2} \frac{x}{2} ) \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \sqrt{2} \sin x \cos x = - \cos x \Leftrightarrow \cos x ( \sqrt{2} \sin x + 1 ) =0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \sin x = - \frac{1}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow совокупность выражений x= - \frac{Пи}{4} + 2 Пи k, x = - \frac{3 Пи}{4} + 2 Пи k, конец совокупности . k \in Z$ $\sin 2x = \sqrt{2} \sin^{4} \frac{x}{2} - \sqrt{2} \cos^{4} \frac{x}{2} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 2 \sin x \cos x= \sqrt{2} ( \sin^{2} \frac{x}{2} - \cos^{2} \frac{x}{2} ) ( \sin^{2} \frac{x}{2} + \cos^{2} \frac{x}{2} ) \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \sqrt{2} \sin x \cos x = - \cos x \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \cos x ( \sqrt{2} \sin x + 1 ) =0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \sin x = - \frac{1}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow совокупность выражений x= - \frac{Пи}{4} + 2 Пи k, x = - \frac{3 Пи}{4} + 2 Пи k, конец совокупности . k \in Z$ б) Отберем корни при помощи тригонометрической окружности (см. рис.).