а) Решите уравнение $\frac{1}{\sin x} + \frac{1}{\cos x} = 2 корень из

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. а) Заметим, что уравнение не определено при $x= \frac{Пи k}{2} ,$ $k \in Z$ Преобразуем уравнение при этом ограничении: $\frac{1}{\sin x} + \frac{1}{\cos x} = 2 корень из 2 \Leftrightarrow \sin x + \cos x = 2 корень из 2 \sin x \cos x \Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} ( \sin x + \cos x ) = \sin 2x \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \sin ( x + \frac{Пи}{4} ) - \sin 2x=0 \Leftrightarrow 2 \cos ( \frac{3x}{2} + \frac{Пи}{8} ) \sin ( \frac{Пи}{8} - \frac{x}{2} ) =0 \Leftrightarrow совокупность выражений \cos ( \frac{3x}{2} + \frac{Пи}{8} ) =0, \sin ( \frac{Пи}{8} - \frac{x}{2} ) =0 конец совокупности . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow совокупность выражений \frac{3x}{2} + \frac{Пи}{8} = \frac{Пи}{2} + Пи k, \frac{x}{2} - \frac{Пи}{8} = Пи k, конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений \frac{3x}{2} = \frac{3 Пи}{8} + Пи k, \frac{x}{2} = \frac{Пи}{8} + Пи k, конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений x = \frac{Пи}{4} + \frac{2 Пи k}3, x = \frac{Пи}{4} + 2 Пи k, конец совокупности . \Leftrightarrow x= \frac{Пи}{4} + \frac{2 Пи k}{3} , k \in \mathbb{Z}{.}$ б) Отберем корни при помощи двойного неравенства: минус 3 Пи \leqslant $\frac{Пи}{4}$ + $\frac{2 Пи k}{3}$ \leqslant - $\frac{3 Пи}{2}$ \Leftrightarrow - $\frac{13}{8}$ \leqslant $\frac{k}{3}$ \leqslant - $\frac{7}{8}$ \Leftrightarrow - целая часть: 4, дробная часть: числитель: 7, знаменатель: 8 \leqslant k \leqslant - целая часть: 2, дробная часть: числитель: 5, знаменатель: 8 \Leftrightarrow совокупность выражений k = - 3, k = -