Присоединиться

Математика·Уравнения·11 класс

а) Решите уравнение $\frac{1}{\operatorname{tg} x} + \frac{1}{\ctg x}

Условие

а) Решите уравнение 1tg⁡x+1ctg⁡x−2ctg⁡x=2\frac{1}{\operatorname{tg} x} + \frac{1}{\ctg x} - 2\ctg x = 2 б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку [−3Пи2;Пи2][ - \frac{3 Пи}{2} ; \frac{Пи}{2} ] Критерии оценивания выполнения задания | Баллы | Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2 | Обоснованно получен верный ответ в пункте а),ИЛИполучены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б) | 1 | Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 | Максимальный балл | 2 |

Ответ

а) @@M35@@ б) @@M36@@ @@M37@@ @@M38@@ @@M39@@

Решение по шагам

  1. Как рассуждать

    Решение. а) Уравнение определено при x≠Пиn2,x \neq \frac{Пи n}{2} , n∈Zn \in Z Преобразуем его при этом ограничении: 1tg⁡x+1ctg⁡x−2ctg⁡x=2⇔ctg⁡x+tg⁡x−2ctg⁡x=2⇔sin⁡xcos⁡x−cos⁡xsin⁡x=2⇔\frac{1}{\operatorname{tg} x} + \frac{1}{\ctg x} - 2 \ctg x = 2 \Leftrightarrow \ctg x + \operatorname{tg} x - 2 \ctg x = 2 \Leftrightarrow \frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\cos x}{\sin x} = 2 \Leftrightarrow ⇔sin⁡2x−cos⁡2x=2sin⁡xcos⁡x⇔sin⁡2x=−cos⁡2x⇔\Leftrightarrow \sin^{2} x - \cos^{2} x = 2 \sin x \cos x \Leftrightarrow \sin 2x = - \cos 2x \Leftrightarrow ⇔tg⁡2x=−1⇔2x=−Пи4+Пиk⇔x=−Пи8+Пиk2,k∈Z\Leftrightarrow \operatorname{tg} 2x = - 1 \Leftrightarrow 2x = - \frac{Пи}{4} + Пи k \Leftrightarrow x = - \frac{Пи}{8} + \frac{Пи k}{2} , k \in Z 1tg⁡x+1ctg⁡x−2ctg⁡x=2⇔ctg⁡x+tg⁡x−2ctg⁡x=2⇔\frac{1}{\operatorname{tg} x} + \frac{1}{\ctg x} - 2 \ctg x = 2 \Leftrightarrow \ctg x + \operatorname{tg} x - 2 \ctg x = 2 \Leftrightarrow ⇔sin⁡xcos⁡x−cos⁡xsin⁡x=2⇔sin⁡2x−cos⁡2x=2sin⁡xcos⁡x⇔\Leftrightarrow \frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\cos x}{\sin x} = 2 \Leftrightarrow \sin^{2} x - \cos^{2} x = 2 \sin x \cos x \Leftrightarrow ⇔sin⁡2x=−cos⁡2x⇔tg⁡2x=−1⇔\Leftrightarrow \sin 2x = - \cos 2x \Leftrightarrow \operatorname{tg} 2x = - 1 \Leftrightarrow ⇔2x=−Пи4+Пиk⇔x=−Пи8+Пиk2,k∈Z\Leftrightarrow 2x = - \frac{Пи}{4} + Пи k \Leftrightarrow x = - \frac{Пи}{8} + \frac{Пи k}{2} , k \in Z 1tg⁡x+1ctg⁡x−2ctg⁡x=2⇔\frac{1}{\operatorname{tg} x} + \frac{1}{\ctg x} - 2 \ctg x = 2 \Leftrightarrow ⇔ctg⁡x+tg⁡x−2ctg⁡x=2⇔sin⁡xcos⁡x−cos⁡xsin⁡x=2⇔\Leftrightarrow \ctg x + \operatorname{tg} x - 2 \ctg x = 2 \Leftrightarrow \frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\cos x}{\sin x} = 2 \Leftrightarrow ⇔sin⁡2x−cos⁡2x=2sin⁡xcos⁡x⇔\Leftrightarrow \sin^{2} x - \cos^{2} x = 2 \sin x \cos x \Leftrightarrow ⇔sin⁡2x=−cos⁡2x⇔tg⁡2x=−1⇔\Leftrightarrow \sin 2x = - \cos 2x \Leftrightarrow \operatorname{tg} 2x = - 1 \Leftrightarrow ⇔2x=−Пи4+Пиk⇔x=−Пи8+Пиk2,k∈Z\Leftrightarrow 2x = - \frac{Пи}{4} + Пи k \Leftrightarrow x = - \frac{Пи}{8} + \frac{Пи k}{2} , k \in Z Все члены найденной серии удовлетворяют условию x≠Пиn2x \neq \frac{Пи n}{2} б) Отберем корни при помощи двойного неравенства: минус3Пи2⩽−Пи8+Пиk2⩽Пи2⇔−32⩽−18+k2⩽12⇔минус \frac{3 Пи}{2} \leqslant - \frac{Пи}{8} + \frac{Пи k}{2} \leqslant \frac{Пи}{2} \Leftrightarrow - \frac{3}{2} \leqslant - \frac{1}{8} + \frac{k}{2} \leqslant \frac{1}{2} \Leftrightarrow ⇔−12⩽−1+4k⩽4⇔−11⩽4k⩽5⇔−114⩽k⩽54\Leftrightarrow - 12 \leqslant - 1 + 4k \leqslant 4 \Leftrightarrow - 11 \leqslant 4k \leqslant 5 \Leftrightarrow - \frac{11}{4} \leqslant k \leqslant \frac{5}{4} минус3Пи2⩽−Пи8+Пиk2⩽Пи2⇔минус \frac{3 Пи}{2} \leqslant - \frac{Пи}{8} + \frac{Пи k}{2} \leqslant \frac{Пи}{2} \Leftrightarrow ⇔−32⩽−18+k2⩽12⇔−12⩽−1+4k⩽4⇔\Leftrightarrow - \frac{3}{2} \leqslant - \frac{1}{8} + \frac{k}{2} \leqslant \frac{1}{2} \Leftrightarrow - 12 \leqslant - 1 + 4k \leqslant 4 \Leftrightarrow ⇔−11⩽4k⩽5⇔−114⩽k⩽54\Leftrightarrow - 11 \leqslant 4k \leqslant 5 \Leftrightarrow - \frac{11}{4} \leqslant k \leqslant \frac{5}{4} Полученному двойному неравенству удовлетворяют целые числа k=−2,k = - 2, k=−1,k = - 1, k=0k = 0 и k=1k = 1 Найденным значениям параметра k соответствуют корни минус9Пи8,минус \frac{9 Пи}{8} , минус5Пи8,минус \frac{5 Пи}{8} , минусПи8минус \frac{Пи}{8} и 3Пи8\frac{3 Пи}{8} Ответ: а) {−Пи8+Пиk2:k∈Z}\{ - \frac{Пи}{8} + \frac{Пи k}{2} : k \in Z \} б) минус9Пи8,минус \frac{9 Пи}{8} , минус5Пи8,минус \frac{5 Пи}{8} , минусПи8,минус \frac{Пи}{8} , 3Пи8\frac{3 Пи}{8}

Осталось ещё 1 шаг — откроются после входа:

  • Полный разбор с проверкой ответа
Получить полное решение

Бесплатно · займёт минуту

Другие задачи по теме «Уравнения»

X - \frac{1}{2} ) - 8 \cdot 3 в степени ( x - 1 ) + 5=0$ б) Найдите все11 класса) Решите уравнение: $4 в степени ( x ) - 2 в степени ( x + 3 ) + 15=0$11 класса) Решите уравнение $27^{x} - 5 \cdot 9^{x} - 3 в степени ( x + 2 ) +11 классX^{2} - 2x + 1 ) + 4 в степени ( x^{2} - 2x ) =20$ б) Найдите все корни11 класса) Решите уравнение $3 \cdot 9 в степени ( x - \frac{1}{2} ) - 7 \cdot11 класс
Похожая задача?Сфотографируйте своё условие — ИИ разберёт его по шагам так же