а) Решите уравнение $( \frac{1}{5} ) в степени ( \ctg x ) \cdot 2 в

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. [рисунок] а) Разделим обе части уравнения на $5 в степени ( - \ctg x )$ при условии $\sin x \neq 0$ Получим: $2 в степени ( \cos 2x - \sin 2x ) = 2^{1}- \sin x ) \Leftrightarrow \cos 2x - \sin 2x = 1 - \sin x \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \cos^{2} x - \sin^{2} x - 2 \sin x \cos x = \sin^{2} x + \cos^{2} x - \sin x \Leftrightarrow 2 \sin^{2} x + 2 \sin x \cos x - \sin x = 0 \underset \sin x \neq 0 \mathop \Leftrightarrow$ $\mathop \Leftrightarrow 2 \sin x + 2 \cos x = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x = \frac{1}{2 \sqrt{2}} \Leftrightarrow \sin \frac{Пи}{4} \sin x + \cos \frac{Пи}{4} \cos x = \frac{\sqrt{2}}{4} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \cos ( x - \frac{Пи}{4} ) = \frac{\sqrt{2}}{4} \Leftrightarrow x - \frac{Пи}{4} = \pm \arccos \frac{\sqrt{2}}{4} + 2 Пи k \Leftrightarrow x = \frac{Пи}{4} \pm \arccos \frac{\sqrt{2}}{4} + 2 Пи k, k \in Z$ $2 в степени ( \cos 2x - \sin 2x ) = 2^{1}- \sin x ) \Leftrightarrow \cos 2x - \sin 2x = 1 - \sin x \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \cos^{2} x - \sin^{2} x - 2 \sin x \cos x = \sin^{2} x + \cos^{2} x - \sin x \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 2 \sin^{2} x + 2 \sin x \cos x - \sin x = 0 \underset \sin x \neq 0 \mathop \Leftrightarrow$ $\mathop \Leftrightarrow 2 \sin x + 2 \cos x = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x = \frac{1}{2 \sqrt{2}} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \sin \frac{Пи}{4} \sin x + \cos \frac{Пи}{4} \cos x = \frac{\sqrt{2}}{4} \Leftrightarrow \cos ( x - \frac{Пи}{4} ) = \frac{\sqrt{2}}{4} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow x - \frac{Пи}{4} = \pm \arccos \frac{\sqrt{2}}{4} + 2 Пи k \Leftrightarrow x = \frac{Пи}{4} \pm \arccos \frac{\sqrt{2}}{4} + 2 Пи k, k \in Z$ $2 в степени ( \cos 2x - \sin 2x ) = 2^{1}- \sin x ) \Leftrightarrow \cos 2x - \sin 2x = 1 - \sin x \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \cos^{2} x - \sin^{2} x - 2 \sin x \cos x = \sin^{2} x + \cos^{2} x - \sin x \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 2 \sin^{2} x + 2 \sin x \cos x - \sin x = 0 \underset \sin x \neq 0 \mathop \Leftrightarrow$ $\mathop \Leftrightarrow 2 \sin x + 2 \cos x = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x = \frac{1}{2 \sqrt{2}} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \sin \frac{Пи}{4} \sin x + \cos \frac{Пи}{4} \cos x = \frac{\sqrt{2}}{4} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \cos ( x - \frac{Пи}{4} ) = \frac{\sqrt{2}}{4} \Leftrightarrow x - \frac{Пи}{4} = \pm \arccos \frac{\sqrt{2}}{4} + 2 Пи k \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow x = \frac{Пи}{4} \pm \arccos \frac{\sqrt{2}}{4} + 2 Пи k, k \in Z$ $2 в степени ( \cos 2x - \sin 2x ) = 2^{1}- \sin x ) \Leftrightarrow \cos 2x - \sin 2x = 1 - \sin x \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \cos^{2} x - \sin^{2} x - 2 \sin x \cos x = \sin^{2} x + \cos^{2} x - \sin x \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 2 \sin^{2} x + 2 \sin x \cos x - \sin x = 0 \underset \sin x \neq 0 \mathop \Leftrightarrow$ $\mathop \Leftrightarrow 2 \sin x + 2 \cos x = 1 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x = \frac{1}{2 \sqrt{2}} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \sin \frac{Пи}{4} \sin x + \cos \frac{Пи}{4} \cos x = \frac{\sqrt{2}}{4} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \cos ( x - \frac{Пи}{4} ) = \frac{\sqrt{2}}{4} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow x - \frac{Пи}{4} = \pm \arccos \frac{\sqrt{2}}{4} + 2 Пи k \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow x = \frac{Пи}{4} \pm \arccos \frac{\sqrt{2}}{4} + 2 Пи k, k \in Z$ б) Корни, принадлежащие отрезку $[ - \frac{4 Пи}{3} ; 0 ] ,$ отберем при помощи единичной окружности.