а) Решите уравнение $\ctg^{4} x= \cos^{2} 2 x - 1$ б) Найдите все корни

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. а) Котангенс определен при $\sin x\not= 0$ Преобразуем уравнение при этом условии: $\ctg^{4} x= \cos^{2} 2 x - 1 \Leftrightarrow \ctg^{4} x= - \sin^{2} 2x \Leftrightarrow \frac{\cos^{4} x}{\sin^{4} x} + 4 \sin^{2} x \cos^{2} x=0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \cos^{2} x ( \cos^{2} x + 4 \sin^{6} x ) =0 \Leftrightarrow совокупность выражений \cos^{2} x=0, \cos^{2} x + 4 \sin^{6} x = 0 конец совокупности . \Leftrightarrow \cos x = 0 \Leftrightarrow x= \frac{Пи}{2} + Пи k,k \in Z$ $\ctg^{4} x= \cos^{2} 2 x - 1 \Leftrightarrow \ctg^{4} x= - \sin^{2} 2x \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \frac{\cos^{4} x}{\sin^{4} x} + 4 \sin^{2} x \cos^{2} x=0 \Leftrightarrow \cos^{2} x ( \cos^{2} x + 4 \sin^{6} x ) =0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow совокупность выражений \cos^{2} x=0, \cos^{2} x + 4 \sin^{6} x = 0 конец совокупности . \Leftrightarrow \cos x = 0 \Leftrightarrow x= \frac{Пи}{2} + Пи k,k \in Z$ $\ctg^{4} x= \cos^{2} 2 x - 1 \Leftrightarrow \ctg^{4} x= - \sin^{2} 2x \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \frac{\cos^{4} x}{\sin^{4} x} + 4 \sin^{2} x \cos^{2} x=0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \cos^{2} x ( \cos^{2} x + 4 \sin^{6} x ) =0 \Leftrightarrow совокупность выражений \cos^{2} x=0, \cos^{2} x + 4 \sin^{6} x = 0 конец совокупности . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \cos x = 0 \Leftrightarrow x= \frac{Пи}{2} + Пи k,k \in Z$ $\ctg^{4} x= \cos^{2} 2 x - 1 \Leftrightarrow \ctg^{4} x= - \sin^{2} 2x \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \frac{\cos^{4} x}{\sin^{4} x} + 4 \sin^{2} x \cos^{2} x=0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \cos^{2} x ( \cos^{2} x + 4 \sin^{6} x ) =0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow совокупность выражений \cos^{2} x=0, \cos^{2} x + 4 \sin^{6} x = 0 конец совокупности . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \cos x = 0 \Leftrightarrow x= \frac{Пи}{2} + Пи k,k \in Z$ Выше мы воспользовались тем, что сумма $\cos^{2} x + 4 \sin^{6} x$ не обращается в нуль, поскольку косинус и синус одного угла одновременно в нуль не обращаются. б) Отберем корни при помощи двойного неравенства: $6 Пи \leqslant \frac{Пи}{2} + Пи k\leqslant8 Пи \Leftrightarrow 6 \leqslant \frac{1}{2} + k\leqslant8 \Leftrightarrow целая часть: 5, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 2 \leqslant k \leqslant целая часть: 7, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 2 ,$ откуда следует, что k = 6 или k =