а) Решите уравнение $\cos^{6} x + \sin^{6} x= \frac{1}{4} \sin^{2} 2x$

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. [рисунок] а) Для квадратов синуса и косинуса применим в левой части формулу суммы кубов: $\cos^{6} x + \sin^{6} x = ( \cos^{2} x + \sin^{2} x ) ( \cos^{4} x - \cos^{2} x \sin^{2} x + \sin^{4} x ) =$ $= 1 \cdot ( ( \cos^{2} x + \sin^{2} x )^{2} - 3 \cos^{2} x \sin^{2} x ) = 1 - \frac{3}{4} \sin^{2} 2x$ Тогда $1 - \frac{3}{4} \sin^{2} 2x= \frac{1}{4} \sin^{2} 2x \Leftrightarrow \sin^{2} 2x=1 \Leftrightarrow совокупность выражений \sin 2x=1, \sin 2x= - 1 конец совокупности . \Leftrightarrow 2x= \frac{Пи}{2} + Пи k \Leftrightarrow x= \frac{Пи}{4} + \frac{Пи k}{2} ,k \in Z$ $1 - \frac{3}{4} \sin^{2} 2x= \frac{1}{4} \sin^{2} 2x \Leftrightarrow \sin^{2} 2x=1 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow совокупность выражений \sin 2x=1, \sin 2x= - 1 конец совокупности . \Leftrightarrow 2x= \frac{Пи}{2} + Пи k \Leftrightarrow x= \frac{Пи}{4} + \frac{Пи k}{2} ,k \in Z$ $1 - \frac{3}{4} \sin^{2} 2x= \frac{1}{4} \sin^{2} 2x \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \sin^{2} 2x=1 \Leftrightarrow совокупность выражений \sin 2x=1, \sin 2x= - 1 конец совокупности . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 2x= \frac{Пи}{2} + Пи k \Leftrightarrow x= \frac{Пи}{4} + \frac{Пи k}{2} ,k \in Z$ б) Отберём корни при помощи единичной окружности.