а) Решите уравнение $\cos 4 x + \frac{\cos x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. а) Преобразуем уравнение: $\cos 4 x + \frac{\cos x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x \Leftrightarrow \cos 4 x = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x - \frac{\cos x}{2} \Leftrightarrow \cos 4 x = - \cos ( x + \frac{Пи}{3} ) \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 4x = Пи \pm ( x + \frac{Пи}{3} ) + 2 Пи k \Leftrightarrow совокупность выражений 3x = \frac{4 Пи}{3} + 2 Пи k, 5x = \frac{2 Пи}{3} + 2 Пи k конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений x = \frac{4 Пи}{9} + \frac{2 Пи k}{3} , x = \frac{2 Пи}{15} + \frac{2 Пи k}{5} , конец совокупности . k \in Z$ $\cos 4 x + \frac{\cos x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x \Leftrightarrow \cos 4 x = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x - \frac{\cos x}{2} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \cos 4 x = - \cos ( x + \frac{Пи}{3} ) \Leftrightarrow 4x = Пи \pm ( x + \frac{Пи}{3} ) + 2 Пи k \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow совокупность выражений 3x = \frac{4 Пи}{3} + 2 Пи k, 5x = \frac{2 Пи}{3} + 2 Пи k конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений x = \frac{4 Пи}{9} + \frac{2 Пи k}{3} , x = \frac{2 Пи}{15} + \frac{2 Пи k}{5} , конец совокупности . k \in Z$ $\cos 4 x + \frac{\cos x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \cos 4 x = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x - \frac{\cos x}{2} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \cos 4 x = - \cos ( x + \frac{Пи}{3} ) \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 4x = Пи \pm ( x + \frac{Пи}{3} ) + 2 Пи k \Leftrightarrow совокупность выражений 3x = \frac{4 Пи}{3} + 2 Пи k, 5x = \frac{2 Пи}{3} + 2 Пи k конец совокупности . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow совокупность выражений x = \frac{4 Пи}{9} + \frac{2 Пи k}{3} , x = \frac{2 Пи}{15} + \frac{2 Пи k}{5} , конец совокупности . k \in Z$ б) Отберем корни при помощи двойных неравенств: $0 \leqslant \frac{4 Пи}{9} + \frac{2 Пи k}{3} \leqslant Пи \Leftrightarrow 0 \leqslant 4 + 6k \leqslant 9 \Leftrightarrow - \frac{2}{3} \leqslant k \leqslant \frac{5}{6} ,$ откуда k = 0, следовательно, $x = \frac{4 Пи}{9}$ Далее, $0 \leqslant \frac{2 Пи}{15} + \frac{2 Пи k}{5} \leqslant Пи \Leftrightarrow 0 \leqslant 2 + 6k \leqslant 15 \Leftrightarrow - \frac{2}{6} \leqslant k \leqslant \frac{5}{2} ,$ откуда $k = 0,$ $k = 1$ или $k = 2$ Найденным значениям параметра соответствуют корни $\frac{2 Пи}{15} ,$ $\frac{8 Пи}{15}$ и $\frac{14 Пи}{15}$ Ответ: а) $\{ \frac{4 Пи}{9} + \frac{2 Пи k}{3} ; \frac{2 Пи}{15} + \frac{2 Пи k}{5} : k \in Z \}$ б) $\frac{4 Пи}{9}$ $\frac{2 Пи}{15} ,$ $\frac{8 Пи}{15} ,$ $\frac{14 Пи}{15}$