а) Решите уравнение $\cos^{2} 3x + \cos^{2} 4x + \cos^{2} 5x=

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. [рисунок] a) Используем формулы понижения порядка: $\cos^{2} 3x + \cos^{2} 4x + \cos^{2} 5x= \frac{3}{2} \Leftrightarrow \frac{1 + \cos 6x}{2} + \frac{1 + \cos 8x}{2} + \frac{1 + \cos 10x}{2} = \frac{3}{2} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 3 + \cos 6x + \cos 8x + \cos 10x=3 \Leftrightarrow \cos 6x + \cos 8x + \cos 10x= \cos 8x + 2 \cos 8x \cos 2x=0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \cos 8x ( 1 + 2 \cos 2x ) =0 \Leftrightarrow совокупность выражений \cos 8x=0, \cos 2x= - \frac{1}{2} конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений 8x= \frac{Пи}{2} + Пи k,2x=\pm \frac{2 Пи}{3} + 2 Пи k конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений x= \frac{Пи}{16} + \frac{Пи k}{8} ,x=\pm \frac{Пи}{3} + Пи k,k \in Z . конец совокупности$ $\cos^{2} 3x + \cos^{2} 4x + \cos^{2} 5x= \frac{3}{2} \Leftrightarrow \frac{1 + \cos 6x}{2} + \frac{1 + \cos 8x}{2} + \frac{1 + \cos 10x}{2} = \frac{3}{2} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 3 + \cos 6x + \cos 8x + \cos 10x=3 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \cos 6x + \cos 8x + \cos 10x= \cos 8x + 2 \cos 8x \cos 2x=0 \Leftrightarrow \cos 8x ( 1 + 2 \cos 2x ) =0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow совокупность выражений \cos 8x=0, \cos 2x= - \frac{1}{2} конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений 8x= \frac{Пи}{2} + Пи k,2x=\pm \frac{2 Пи}{3} + 2 Пи k конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений x= \frac{Пи}{16} + \frac{Пи k}{8} ,x=\pm \frac{Пи}{3} + Пи k,k \in Z . конец совокупности$ $\cos^{2} 3x + \cos^{2} 4x + \cos^{2} 5x= \frac{3}{2} \Leftrightarrow \frac{1 + \cos 6x}{2} + \frac{1 + \cos 8x}{2} + \frac{1 + \cos 10x}{2} = \frac{3}{2} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 3 + \cos 6x + \cos 8x + \cos 10x=3 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \cos 6x + \cos 8x + \cos 10x= \cos 8x + 2 \cos 8x \cos 2x=0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \cos 8x ( 1 + 2 \cos 2x ) =0 \Leftrightarrow совокупность выражений \cos 8x=0, \cos 2x= - \frac{1}{2} конец совокупности . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow совокупность выражений 8x= \frac{Пи}{2} + Пи k,2x=\pm \frac{2 Пи}{3} + 2 Пи k конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений x= \frac{Пи}{16} + \frac{Пи k}{8} ,x=\pm \frac{Пи}{3} + Пи k,k \in Z . конец совокупности$ $\cos^{2} 3x + \cos^{2} 4x + \cos^{2} 5x= \frac{3}{2} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \frac{1 + \cos 6x}{2} + \frac{1 + \cos 8x}{2} + \frac{1 + \cos 10x}{2} = \frac{3}{2} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 3 + \cos 6x + \cos 8x + \cos 10x=3 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \cos 6x + \cos 8x + \cos 10x= \cos 8x + 2 \cos 8x \cos 2x=0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \cos 8x ( 1 + 2 \cos 2x ) =0 \Leftrightarrow совокупность выражений \cos 8x=0, \cos 2x= - \frac{1}{2} конец совокупности . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow совокупность выражений 8x= \frac{Пи}{2} + Пи k,2x=\pm \frac{2 Пи}{3} + 2 Пи k конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений x= \frac{Пи}{16} + \frac{Пи k}{8} ,x=\pm \frac{Пи}{3} + Пи k,k \in Z . конец совокупности$ б) Отберём корни при помощи единичной окружности.