а) Решите уравнение $8 ( \sin^{6} x + \cos^{6} x ) = \sqrt{3} \sin 4x +

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. а) Покажем, что $\sin^{6} x + \cos^{6} x = \frac{3 \cos 4x + 5}{8}$ Используем формулу суммы кубов: $\sin^{6} x + \cos^{6} x = ( \sin^{2} x )^{3} + ( \cos^{2} x )^{3} = ( \sin^{2} x + \cos^{2} x ) ( \sin^{4} x - \sin^{2} x \cos^{2} x + \cos^{4} x ) =$ $= ( \sin^{2} x + \cos^{2} x )^{2} - 3 \sin^{2} x \cos^{2} x = 1 - \frac{3}{4} \sin^{2} 2x = 1 - \frac{3}{4} \cdot \frac{1 - \cos 4x}{2} = \frac{3 \cos 4x + 5}{8}$ $\sin^{6} x + \cos^{6} x = ( \sin^{2} x )^{3} + ( \cos^{2} x )^{3} =$ $= ( \sin^{2} x + \cos^{2} x ) ( \sin^{4} x - \sin^{2} x \cos^{2} x + \cos^{4} x ) = ( \sin^{2} x + \cos^{2} x )^{2} - 3 \sin^{2} x \cos^{2} x =$ $= 1 - \frac{3}{4} \sin^{2} 2x = 1 - \frac{3}{4} \cdot \frac{1 - \cos 4x}{2} = \frac{3 \cos 4x + 5}{8}$ $\sin^{6} x + \cos^{6} x = ( \sin^{2} x )^{3} + ( \cos^{2} x )^{3} =$ $= ( \sin^{2} x + \cos^{2} x ) ( \sin^{4} x - \sin^{2} x \cos^{2} x + \cos^{4} x ) =$ $= ( \sin^{2} x + \cos^{2} x )^{2} - 3 \sin^{2} x \cos^{2} x = 1 - \frac{3}{4} \sin^{2} 2x =$ $= 1 - \frac{3}{4} \cdot \frac{1 - \cos 4x}{2} = \frac{3 \cos 4x + 5}{8}$ Подставим найденное выражение в левую часть уравнения, получим: $3 \cos 4x + 5 = \sqrt{3} \sin 4x + 5 \Leftrightarrow \sqrt{3} \cos 4x = \sin 4x \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \operatorname{tg} 4x = \sqrt{3} \Leftrightarrow 4x = \frac{Пи}{3} + Пи k \Leftrightarrow x = \frac{Пи}{12} + \frac{Пи k}{4} , k \in Z$ $3 \cos 4x + 5 = \sqrt{3} \sin 4x + 5 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \sqrt{3} \cos 4x = \sin 4x \Leftrightarrow \operatorname{tg} 4x = \sqrt{3} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 4x = \frac{Пи}{3} + Пи k \Leftrightarrow x = \frac{Пи}{12} + \frac{Пи k}{4} , k \in Z$ б) Отберем корни при помощи двойного неравенства: $\frac{2 Пи}{3} \leqslant \frac{Пи}{12} + \frac{Пи k}{4} \leqslant \frac{3 Пи}{2} \Leftrightarrow \frac{2}{3} \leqslant \frac{1}{12} + \frac{k}{4} \leqslant \frac{3}{2} \Leftrightarrow 8 \leqslant 1 + 3k \leqslant 18 \Leftrightarrow$ \Leftrightarrow 7 \leqslant 3k \leqslant 17 \Leftrightarrow $\frac{7}{3}$ \leqslant k \leqslant $\frac{17}{3}$ \underset k \in Z \mathop \Leftrightarrow совокупность выражений k = 3, k = 4, k =