а) Решите уравнение $8 \cos x \sin ( x + \frac{Пи}{3} ) + \sqrt{48}

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. [рисунок] а) Применим формулу синуса суммы: $8 \cos x \sin ( x + \frac{Пи}{3} ) + \sqrt{48} \sin^{2} x = 9 \sqrt{3} - 8 \sin 2x \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 8 \cos x ( \sin x \cos \frac{Пи}{3} + \cos x \sin \frac{Пи}{3} ) + 4 \sqrt{3} \sin^{2} x = 9 \sqrt{3} - 8 \sin 2x \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 4 \cos x \sin x + 4 \sqrt{3} \cos^{2} x + 4 \sqrt{3} \sin^{2} x = 9 \sqrt{3} - 8 \sin 2x \Leftrightarrow 2 \sin 2x + 4 \sqrt{3} = 9 \sqrt{3} - 8 \sin 2x \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 10 \sin 2x = 5 \sqrt{3} \Leftrightarrow \sin 2x = \frac{\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow совокупность выражений 2x = \frac{Пи}{3} + 2 Пи k, 2x = \frac{2 Пи}{3} + 2 Пи k конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений x = \frac{Пи}{6} + Пи k, x = \frac{Пи}{3} + Пи k, конец совокупности . k \in Z$ $8 \cos x \sin ( x + \frac{Пи}{3} ) + \sqrt{48} \sin^{2} x = 9 \sqrt{3} - 8 \sin 2x \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 8 \cos x ( \sin x \cos \frac{Пи}{3} + \cos x \sin \frac{Пи}{3} ) + 4 \sqrt{3} \sin^{2} x = 9 \sqrt{3} - 8 \sin 2x \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 4 \cos x \sin x + 4 \sqrt{3} \cos^{2} x + 4 \sqrt{3} \sin^{2} x = 9 \sqrt{3} - 8 \sin 2x \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 2 \sin 2x + 4 \sqrt{3} = 9 \sqrt{3} - 8 \sin 2x \Leftrightarrow 10 \sin 2x = 5 \sqrt{3} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \sin 2x = \frac{\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow совокупность выражений 2x = \frac{Пи}{3} + 2 Пи k, 2x = \frac{2 Пи}{3} + 2 Пи k конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений x = \frac{Пи}{6} + Пи k, x = \frac{Пи}{3} + Пи k, конец совокупности . k \in Z$ $8 \cos x \sin ( x + \frac{Пи}{3} ) + \sqrt{48} \sin^{2} x = 9 \sqrt{3} - 8 \sin 2x \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 8 \cos x ( \sin x \cos \frac{Пи}{3} + \cos x \sin \frac{Пи}{3} ) + 4 \sqrt{3} \sin^{2} x = 9 \sqrt{3} - 8 \sin 2x \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 4 \cos x \sin x + 4 \sqrt{3} \cos^{2} x + 4 \sqrt{3} \sin^{2} x = 9 \sqrt{3} - 8 \sin 2x \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 2 \sin 2x + 4 \sqrt{3} = 9 \sqrt{3} - 8 \sin 2x \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 10 \sin 2x = 5 \sqrt{3} \Leftrightarrow \sin 2x = \frac{\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow совокупность выражений 2x = \frac{Пи}{3} + 2 Пи k, 2x = \frac{2 Пи}{3} + 2 Пи k конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений x = \frac{Пи}{6} + Пи k, x = \frac{Пи}{3} + Пи k, конец совокупности . k \in Z$ б) Отберем корни при помощи единичной окружности (см. рис.).