а) Решите уравнение $7 в степени ( 2 \log по основанию 2^{2} ( \cos x )

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. [рисунок] a) Получим степени с равными основаниями: $7 в степени ( 2 \log по основанию 2^{2} ( \cos x ) ) = \frac{7}{7 в степени ( \log по основанию 2 ( \cos x ) )} \Leftrightarrow 7 в степени ( 2 \log по основанию 2^{2} ( \cos x ) ) = 7 в степени ( 1 - \log по основанию 2 ( \cos x ) ) \Leftrightarrow 2 \log по основанию 2^{2} ( \cos x ) = 1 - \log по основанию 2 ( \cos x ) \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 2 \log по основанию 2^{2} ( \cos x ) + \log по основанию 2 ( \cos x ) - 1=0 \Leftrightarrow совокупность выражений \log по основанию 2 ( \cos x ) = - 1, \log по основанию 2 ( \cos x ) = \frac{1}{2} конец совокупности . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow совокупность выражений \cos x= \frac{1}{2} , \cos x= \sqrt{2} конец совокупности . \underset | \cos x| \leqslant 1 \mathop \Leftrightarrow \cos x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x= \pm \frac{Пи}{3} + 2 Пи k, k \in Z$ $7 в степени ( 2 \log по основанию 2^{2} ( \cos x ) ) = \frac{7}{7 в степени ( \log по основанию 2 ( \cos x ) )} \Leftrightarrow 7 в степени ( 2 \log по основанию 2^{2} ( \cos x ) ) = 7 в степени ( 1 - \log по основанию 2 ( \cos x ) ) \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 2 \log по основанию 2^{2} ( \cos x ) = 1 - \log по основанию 2 ( \cos x ) \Leftrightarrow 2 \log по основанию 2^{2} ( \cos x ) + \log по основанию 2 ( \cos x ) - 1=0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow совокупность выражений \log по основанию 2 ( \cos x ) = - 1, \log по основанию 2 ( \cos x ) = \frac{1}{2} конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений \cos x= \frac{1}{2} , \cos x= \sqrt{2} конец совокупности . \underset | \cos x| \leqslant 1 \mathop \Leftrightarrow$ $\underset | \cos x| \leqslant 1 \mathop \Leftrightarrow \cos x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x= \pm \frac{Пи}{3} + 2 Пи k, k \in Z$ $7 в степени ( 2 \log по основанию 2^{2} ( \cos x ) ) = \frac{7}{7 в степени ( \log по основанию 2 ( \cos x ) )} \Leftrightarrow 7 в степени ( 2 \log по основанию 2^{2} ( \cos x ) ) = 7 в степени ( 1 - \log по основанию 2 ( \cos x ) ) \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 2 \log по основанию 2^{2} ( \cos x ) = 1 - \log по основанию 2 ( \cos x ) \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 2 \log по основанию 2^{2} ( \cos x ) + \log по основанию 2 ( \cos x ) - 1=0 \Leftrightarrow совокупность выражений \log по основанию 2 ( \cos x ) = - 1, \log по основанию 2 ( \cos x ) = \frac{1}{2} конец совокупности . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow совокупность выражений \cos x= \frac{1}{2} , \cos x= \sqrt{2} конец совокупности . \underset | \cos x| \leqslant 1 \mathop \Leftrightarrow \cos x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x= \pm \frac{Пи}{3} + 2 Пи k, k \in Z$ $7 в степени ( 2 \log по основанию 2^{2} ( \cos x ) ) = \frac{7}{7 в степени ( \log по основанию 2 ( \cos x ) )} \Leftrightarrow 7 в степени ( 2 \log по основанию 2^{2} ( \cos x ) ) = 7 в степени ( 1 - \log по основанию 2 ( \cos x ) ) \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 2 \log по основанию 2^{2} ( \cos x ) = 1 - \log по основанию 2 ( \cos x ) \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 2 \log по основанию 2^{2} ( \cos x ) + \log по основанию 2 ( \cos x ) - 1=0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow совокупность выражений \log по основанию 2 ( \cos x ) = - 1, \log по основанию 2 ( \cos x ) = \frac{1}{2} конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений \cos x= \frac{1}{2} , \cos x= \sqrt{2} конец совокупности . \underset | \cos x| \leqslant 1 \mathop \Leftrightarrow$ $\underset | \cos x| \leqslant 1 \mathop \Leftrightarrow \cos x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x= \pm \frac{Пи}{3} + 2 Пи k, k \in Z$ $7 в степени ( 2 \log по основанию 2^{2} ( \cos x ) ) = \frac{7}{7 в степени ( \log по основанию 2 ( \cos x ) )} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 7 в степени ( 2 \log по основанию 2^{2} ( \cos x ) ) = 7 в степени ( 1 - \log по основанию 2 ( \cos x ) ) \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 2 \log по основанию 2^{2} ( \cos x ) = 1 - \log по основанию 2 ( \cos x ) \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 2 \log по основанию 2^{2} ( \cos x ) + \log по основанию 2 ( \cos x ) - 1=0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow совокупность выражений \log по основанию 2 ( \cos x ) = - 1, \log по основанию 2 ( \cos x ) = \frac{1}{2} конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений \cos x= \frac{1}{2} , \cos x= \sqrt{2} конец совокупности . \underset | \cos x| \leqslant 1 \mathop \Leftrightarrow$ $\underset | \cos x| \leqslant 1 \mathop \Leftrightarrow \cos x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x= \pm \frac{Пи}{3} + 2 Пи k, k \in Z$ б) Отберем корни при помощи единичной окружности (см. рис.).