а) Решите уравнение $4 \sin^{2} ( x + \frac{7 Пи}{8} ) + \sqrt{2} \sin

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. [рисунок] а) Используем формулу косинуса двойного угла, затем — формулу косинуса суммы: $4 \sin^{2} ( x + \frac{7 Пи}{8} ) + \sqrt{2} \sin 2 x = 1 \Leftrightarrow 2 ( 1 - \cos ( 2x + \frac{7 Пи}{4} ) ) + \sqrt{2} \sin 2x=1 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \sqrt{2} \sin 2x - \sqrt{2} \cos 2x - \sqrt{2} \sin 2x = - 1 \Leftrightarrow \sqrt{2} \cos 2x =1 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \cos 2x= \frac{1}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow 2x=\pm \frac{Пи}{4} + 2 Пи k \Leftrightarrow x=\pm \frac{Пи}{8} + Пи k,k \in Z$ $4 \sin^{2} ( x + \frac{7 Пи}{8} ) + \sqrt{2} \sin 2 x = 1 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 2 ( 1 - \cos ( 2x + \frac{7 Пи}{4} ) ) + \sqrt{2} \sin 2x=1 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \sqrt{2} \sin 2x - \sqrt{2} \cos 2x - \sqrt{2} \sin 2x = - 1 \Leftrightarrow \sqrt{2} \cos 2x =1 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \cos 2x= \frac{1}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow 2x=\pm \frac{Пи}{4} + 2 Пи k \Leftrightarrow x=\pm \frac{Пи}{8} + Пи k,k \in Z$ $4 \sin^{2} ( x + \frac{7 Пи}{8} ) + \sqrt{2} \sin 2 x = 1 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 2 ( 1 - \cos ( 2x + \frac{7 Пи}{4} ) ) + \sqrt{2} \sin 2x=1 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \sqrt{2} \sin 2x - \sqrt{2} \cos 2x - \sqrt{2} \sin 2x = - 1 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \sqrt{2} \cos 2x =1 \Leftrightarrow \cos 2x= \frac{1}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 2x=\pm \frac{Пи}{4} + 2 Пи k \Leftrightarrow x=\pm \frac{Пи}{8} + Пи k,k \in Z$ б) Отберем корни при помощи тригонометрической окружности.