а) Решите уравнение $3 \ctg x + \frac{1}{\cos x} = \operatorname{tg} x

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. а) Уравнение определено, если $\sin x \neq 0$ и $\cos x \neq 0$ Для таких значений x можно умножить обе части уравнения на $\sin x \cos x:$ $3 \cdot \frac{\cos x}{\sin x} + \frac{1}{\cos x} = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\sqrt{3}}{\sin x} \Leftrightarrow 3 \cos^{2} x + \sin x = \sin^{2} x + \sqrt{3} \cos x \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 3 \cos^{2} x - \sin^{2} x - ( \sqrt{3} \cos x - \sin x ) = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow ( \sqrt{3} \cos x - \sin x ) ( \sqrt{3} \cos x + \sin x ) - ( \sqrt{3} \cos x - \sin x ) = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow ( \sqrt{3} \cos x - \sin x ) ( \sqrt{3} \cos x + \sin x - 1 ) = 0$ $3 \cdot \frac{\cos x}{\sin x} + \frac{1}{\cos x} = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\sqrt{3}}{\sin x} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 3 \cos^{2} x + \sin x = \sin^{2} x + \sqrt{3} \cos x \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 3 \cos^{2} x - \sin^{2} x - ( \sqrt{3} \cos x - \sin x ) = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow ( \sqrt{3} \cos x - \sin x ) ( \sqrt{3} \cos x + \sin x ) - ( \sqrt{3} \cos x - \sin x ) = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow ( \sqrt{3} \cos x - \sin x ) ( \sqrt{3} \cos x + \sin x - 1 ) = 0$ Приравняем каждую из скобок к нулю.