а) Решите уравнение $3 \cos \frac{x}{4} \cos \frac{x}{2} \sin

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. а) Дважды применим к левой части уравнения формулу синуса двойного угла: $\sin \frac{x}{4} \cos \frac{x}{4} = \frac{1}{2} \sin \frac{x}{2} ,$ $\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} = \frac{1}{2} \sin x,$ откуда получаем: $3 \sin \frac{x}{4} \cos \frac{x}{4} \cos \frac{x}{2} = \frac{3}{4} \sin x$ Правая часть уравнения определена, если котангенс существует и отличен от ±1, то есть при $x\not= Пи m,$ $x\not=\pm \frac{Пи}{4} + Пи n,$ где $m, n \in Z$ Упростим ее при этих условиях, используя формулу разности квадратов: $\frac{1 - \ctg x}{1 - \ctg^{2} x} = \frac{1}{} 1 + \ctg x$ Используем свойство пропорции и раскроем скобки: $\frac{3}{4} \sin x = \frac{1}{1 + \ctg x} \Leftrightarrow \sin x ( 1 + \ctg x ) = \frac{4}{3} \Leftrightarrow \sin x + \sin x \cdot \frac{\cos}{\sin x} = \frac{4}{3} \Leftrightarrow \sin x + \cos x = \frac{4}{3}$ $\frac{3}{4} \sin x = \frac{1}{1 + \ctg x} \Leftrightarrow \sin x ( 1 + \ctg x ) = \frac{4}{3} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \sin x + \sin x \cdot \frac{\cos}{\sin x} = \frac{4}{3} \Leftrightarrow \sin x + \cos x = \frac{4}{3}$ В силу формулы $\sin x + \cos x = корень из 2 \cos ( x - \frac{Пи}{4} )$ получаем: $\cos ( x - \frac{Пи}{4} ) = \frac{2 \sqrt{2}}{3} \Leftrightarrow x - \frac{Пи}{4} = \pm \arccos \frac{2 \sqrt{2}}{3} + 2 Пи k \Leftrightarrow x= \frac{Пи}{4} \pm \arccos \frac{2 \sqrt{2}}{3} + 2 Пи k,k \in Z$ $\cos ( x - \frac{Пи}{4} ) = \frac{2 \sqrt{2}}{3} \Leftrightarrow x - \frac{Пи}{4} = \pm \arccos \frac{2 \sqrt{2}}{3} + 2 Пи k \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow x= \frac{Пи}{4} \pm \arccos \frac{2 \sqrt{2}}{3} + 2 Пи k,k \in Z$ $\cos ( x - \frac{Пи}{4} ) = \frac{2 \sqrt{2}}{3} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow x - \frac{Пи}{4} = \pm \arccos \frac{2 \sqrt{2}}{3} + 2 Пи k \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow x= \frac{Пи}{4} \pm \arccos \frac{2 \sqrt{2}}{3} + 2 Пи k,k \in Z$ б) Интервал $( - 2 Пи ; - \frac{3 Пи}{2} )$ можно получить поворотом интервала $( 0; \frac{Пи}{2} )$ на угол -2π, поэтому достаточно найти решения, лежащие на интервале $( 0; \frac{Пи}{2} ) ,$ а затем уменьшить их на -2π.