а) Решите уравнение: $2 \sqrt{2} \sin ( x + \frac{Пи}{3} ) + 2 \cos^{2}

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. а) Воспользуемся формулой синуса суммы: $2 \sqrt{2} \sin ( x + \frac{Пи }3 ) =2 \sqrt{2} ( \sin x \cdot \frac{1}{2} + \cos x \cdot \frac{{}{} sqrt3}{2} ) = корень из 2 \sin x + корень из 6 \cos x$ Заметим, что в силу основного тригонометрического тождества $2 \cos^{2} x =2 - 2 \sin^{2} x$ Перенесем слагаемые из правой части уравнения в левую: $минус 2 \sin^{2} x + 2 + корень из 2 \sin x - 2=0 \Leftrightarrow 2 \sin^{2} x - корень из 2 \sin x=0 \Leftrightarrow \sin x ( 2 \sin x - корень из 2 ) =0 \Leftrightarrow$ $минус 2 \sin^{2} x + 2 + корень из 2 \sin x - 2=0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 2 \sin^{2} x - корень из 2 \sin x=0 \Leftrightarrow \sin x ( 2 \sin x - корень из 2 ) =0 \Leftrightarrow$ [рисунок] $\Leftrightarrow совокупность выражений \sin x =0, \sin x = \frac{корень из 2}{2} конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений x = Пи k,x= \frac{Пи}{4} + 2 Пи k ,x= \frac{3 Пи}{4} + 2 Пи k, конец совокупности . k \in \mathbb Z$ б) Отберём корни с помощью тригонометрической окружности на отрезке $[ - 3 Пи ; - \frac{3 Пи}{2} ]$ Получим числа $минус 3 Пи ; - 2 Пи ; - \frac{7 Пи}{4}$ Ответ: а) $\{ Пи k, \frac{Пи}{4} + 2 Пи k, \frac{3 Пи}{4} + 2 Пи k: k \in Z \}$ б) $минус 3 Пи ; - 2 Пи ; - \frac{7 Пи}{4}$