а) Решите уравнение $( 2 \sin x + 2 \cos ( x + \frac{Пи}{6} )

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. а) Уравнение определено при $\sin x < 0,$ при этом $\log по основанию 5 ( - \sin x ) = 0 \Leftrightarrow \sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{Пи}{2} + 2 Пи k, k \in Z$ Преобразуем первый сомножитель: $2 \sin x + 2 \cos ( x + \frac{Пи}{6} ) - \sqrt{2} = 2 \sin x + 2 ( \cos x \cos \frac{Пи}{6} - \sin x \sin \frac{Пи}{6} ) - \sqrt{2} =$ $= 2 \sin x + \sqrt{3} \cos x - \sin x - \sqrt{2} = \sin x + \sqrt{3} \cos x - \sqrt{2} =$ $= 2 ( \sin \frac{Пи}{3} \cos x + \cos \frac{Пи}{3} \sin x ) - \sqrt{2} = 2 \sin ( x + \frac{Пи}{3} ) - \sqrt{2}$ $2 \sin x + 2 \cos ( x + \frac{Пи}{6} ) - \sqrt{2} =$ $= 2 \sin x + 2 ( \cos x \cos \frac{Пи}{6} - \sin x \sin \frac{Пи}{6} ) - \sqrt{2} =$ $= 2 \sin x + \sqrt{3} \cos x - \sin x - \sqrt{2} = \sin x + \sqrt{3} \cos x - \sqrt{2} =$ $= 2 ( \sin \frac{Пи}{3} \cos x + \cos \frac{Пи}{3} \sin x ) - \sqrt{2} = 2 \sin ( x + \frac{Пи}{3} ) - \sqrt{2}$ $2 \sin x + 2 \cos ( x + \frac{Пи}{6} ) - \sqrt{2} =$ $= 2 \sin x + 2 ( \cos x \cos \frac{Пи}{6} - \sin x \sin \frac{Пи}{6} ) - \sqrt{2} =$ $= 2 \sin x + \sqrt{3} \cos x - \sin x - \sqrt{2} =$ $= \sin x + \sqrt{3} \cos x - \sqrt{2} =$ $= 2 ( \sin \frac{Пи}{3} \cos x + \cos \frac{Пи}{3} \sin x ) - \sqrt{2} =$ $= 2 \sin ( x + \frac{Пи}{3} ) - \sqrt{2}$ [рисунок] Далее находим: $система выражений \sin ( \frac{Пи}{3} + x ) = \frac{\sqrt{2}}{2} , \sin x < 0 конец системы . \Leftrightarrow система выражений совокупность выражений x + \frac{Пи}{3} = \frac{Пи}{4} + 2 Пи n, x + \frac{Пи}{3} = \frac{3 Пи}{4} + 2 Пи n, конец системы . \sin x < 0 конец совокупности . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений совокупность выражений x = - \frac{Пи}{12} + 2 Пи n, x = \frac{5 Пи}{12} + 2 Пи n, конец системы . \sin x < 0 конец совокупности . \Leftrightarrow x = - \frac{Пи}{12} + 2 Пи n, n \in Z$ Решением уравнения являются серии корней $x = - \frac{Пи}{2} + 2 Пи k,$ $x = - \frac{Пи}{12} + 2 Пи n,$ $k, n \in Z$ б) Отберем корни при помощи единичной окружности (см. рис.).