а) Решите уравнение $2 \sin^{3} x= \sqrt{2} \cos^{2} x + 2 \sin x$ б)

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. [рисунок] а) Преобразуем уравнение: $2 \sin^{3} x = \sqrt{2} \cos^{2} x + 2 \sin x \Leftrightarrow 2 \sin^{3} x - \sqrt{2} ( 1 - \sin^{2} x ) - 2 \sin x = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 2 \sin^{3} x + \sqrt{2} \sin^{2} x - 2 \sin x - \sqrt{2} = 0 \Leftrightarrow \sin^{2} x ( 2 \sin x + \sqrt{2} ) - 2 \sin x - \sqrt{2} = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow ( \sin^{2} x - 1 ) ( 2 \sin x + \sqrt{2} ) = 0 \Leftrightarrow совокупность выражений \sin x = 1, \sin x = - 1, \sin x = - \frac{\sqrt{2}}{2} конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений x = \frac{Пи}{2} + Пи k, x = - \frac{Пи}{4} + 2 Пи k, x = - \frac{3 Пи}{4} + 2 Пи k, конец совокупности .k \in Z$ $2 \sin^{3} x = \sqrt{2} \cos^{2} x + 2 \sin x \Leftrightarrow 2 \sin^{3} x - \sqrt{2} ( 1 - \sin^{2} x ) - 2 \sin x = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 2 \sin^{3} x + \sqrt{2} \sin^{2} x - 2 \sin x - \sqrt{2} = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \sin^{2} x ( 2 \sin x + \sqrt{2} ) - 2 \sin x - \sqrt{2} = 0 \Leftrightarrow ( \sin^{2} x - 1 ) ( 2 \sin x + \sqrt{2} ) = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow совокупность выражений \sin x = 1, \sin x = - 1, \sin x = - \frac{\sqrt{2}}{2} конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений x = \frac{Пи}{2} + Пи k, x = - \frac{Пи}{4} + 2 Пи k, x = - \frac{3 Пи}{4} + 2 Пи k, конец совокупности .k \in Z$ $2 \sin^{3} x = \sqrt{2} \cos^{2} x + 2 \sin x \Leftrightarrow 2 \sin^{3} x - \sqrt{2} ( 1 - \sin^{2} x ) - 2 \sin x = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 2 \sin^{3} x + \sqrt{2} \sin^{2} x - 2 \sin x - \sqrt{2} = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \sin^{2} x ( 2 \sin x + \sqrt{2} ) - 2 \sin x - \sqrt{2} = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow ( \sin^{2} x - 1 ) ( 2 \sin x + \sqrt{2} ) = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow совокупность выражений \sin x = 1, \sin x = - 1, \sin x = - \frac{\sqrt{2}}{2} конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений x = \frac{Пи}{2} + Пи k, x = - \frac{Пи}{4} + 2 Пи k, x = - \frac{3 Пи}{4} + 2 Пи k, конец совокупности .k \in Z$ $2 \sin^{3} x = \sqrt{2} \cos^{2} x + 2 \sin x \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 2 \sin^{3} x - \sqrt{2} ( 1 - \sin^{2} x ) - 2 \sin x = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 2 \sin^{3} x + \sqrt{2} \sin^{2} x - 2 \sin x - \sqrt{2} = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \sin^{2} x ( 2 \sin x + \sqrt{2} ) - 2 \sin x - \sqrt{2} = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow ( \sin^{2} x - 1 ) ( 2 \sin x + \sqrt{2} ) = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow совокупность выражений \sin x = 1, \sin x = - 1, \sin x = - \frac{\sqrt{2}}{2} конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений x = \frac{Пи}{2} + Пи k, x = - \frac{Пи}{4} + 2 Пи k, x = - \frac{3 Пи}{4} + 2 Пи k, конец совокупности .k \in Z$ б) Отберем корни при помощи тригонометрической окружности.