а) Решите уравнение $2 \cos^{3} x= \sqrt{3} \sin^{2} x + 2 \cos x$ б)

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. [рисунок] а) Преобразуем уравнение: $2 \cos^{3} x = \sqrt{3} \sin^{2} x + 2 \cos x \Leftrightarrow 2 \cos^{3} x - \sqrt{3} ( 1 - \cos^{2} x ) - 2 \cos x = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 2 \cos^{3} x + \sqrt{3} \cos^{2} x - 2 \cos x - \sqrt{3} = 0 \Leftrightarrow \cos^{2} x ( 2 \cos x + \sqrt{3} ) - 2 \cos x - \sqrt{3} = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow ( \cos^{2} x - 1 ) ( 2 \cos x + \sqrt{3} ) = 0 \Leftrightarrow совокупность выражений \cos x = 1, \cos x = - 1, \cos x = - \frac{\sqrt{3}}{2} конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений x = Пи k, x = \pm \frac{5 Пи}{6} + 2 Пи k, конец совокупности .k \in Z$ $2 \cos^{3} x = \sqrt{3} \sin^{2} x + 2 \cos x \Leftrightarrow 2 \cos^{3} x - \sqrt{3} ( 1 - \cos^{2} x ) - 2 \cos x = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 2 \cos^{3} x + \sqrt{3} \cos^{2} x - 2 \cos x - \sqrt{3} = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \cos^{2} x ( 2 \cos x + \sqrt{3} ) - 2 \cos x - \sqrt{3} = 0 \Leftrightarrow ( \cos^{2} x - 1 ) ( 2 \cos x + \sqrt{3} ) = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow совокупность выражений \cos x = 1, \cos x = - 1, \cos x = - \frac{\sqrt{3}}{2} конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений x = Пи k, x = \pm \frac{5 Пи}{6} + 2 Пи k, конец совокупности .k \in Z$ $2 \cos^{3} x = \sqrt{3} \sin^{2} x + 2 \cos x \Leftrightarrow 2 \cos^{3} x - \sqrt{3} ( 1 - \cos^{2} x ) - 2 \cos x = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 2 \cos^{3} x + \sqrt{3} \cos^{2} x - 2 \cos x - \sqrt{3} = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \cos^{2} x ( 2 \cos x + \sqrt{3} ) - 2 \cos x - \sqrt{3} = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow ( \cos^{2} x - 1 ) ( 2 \cos x + \sqrt{3} ) = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow совокупность выражений \cos x = 1, \cos x = - 1, \cos x = - \frac{\sqrt{3}}{2} конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений x = Пи k, x = \pm \frac{5 Пи}{6} + 2 Пи k, конец совокупности .k \in Z$ $2 \cos^{3} x = \sqrt{3} \sin^{2} x + 2 \cos x \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 2 \cos^{3} x - \sqrt{3} ( 1 - \cos^{2} x ) - 2 \cos x = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 2 \cos^{3} x + \sqrt{3} \cos^{2} x - 2 \cos x - \sqrt{3} = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \cos^{2} x ( 2 \cos x + \sqrt{3} ) - 2 \cos x - \sqrt{3} = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow ( \cos^{2} x - 1 ) ( 2 \cos x + \sqrt{3} ) = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow совокупность выражений \cos x = 1, \cos x = - 1, \cos x = - \frac{\sqrt{3}}{2} конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений x = Пи k, x = \pm \frac{5 Пи}{6} + 2 Пи k, конец совокупности .k \in Z$ б) Отберем корни при помощи тригонометрической окружности.