а) Решите уравнение $( 1 + \sin \frac{Пи}{7} )^{3}- \cos 2x ) = ( \sin

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. а) Заметим, что $1 + \sin \frac{Пи}{7} = \sin^{2} \frac{Пи}{14} + \cos^{2} \frac{Пи}{14} + 2 \sin \frac{Пи}{14} \cos \frac{Пи}{14} = ( \sin \frac{Пи}{14} + \cos \frac{Пи}{14} )^{2}$ Тогда $( 1 + \sin \frac{Пи}{7} )^{3}- \cos 2x ) = ( \sin \frac{Пи}{14} + \cos \frac{Пи}{14} )^{10}\sin x ) \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow ( \sin \frac{Пи}{14} + \cos \frac{Пи}{14} )^{2}\cdot ( 3 - \cos 2x ) ) = ( \sin \frac{Пи}{14} + \cos \frac{Пи}{14} )^{2}\cdot 5 \sin x ) \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 3 - \cos 2x=5 \sin x \Leftrightarrow 2 \sin^{2} x - 5 \sin x + 2=0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow совокупность выражений \sin x=2, \sin x= \frac{1}{2} конец совокупности . \Leftrightarrow \sin x= \frac{1}{2} \Leftrightarrow совокупность выражений x= \frac{Пи}{6} + 2 Пи k,x= \frac{5 Пи}{6} + 2 Пи k, конец совокупности . k \in Z$ $\Leftrightarrow 3 - \cos 2x=5 \sin x \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 2 \sin^{2} x - 5 \sin x + 2=0 \Leftrightarrow совокупность выражений \sin x=2, \sin x= \frac{1}{2} конец совокупности . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \sin x= \frac{1}{2} \Leftrightarrow совокупность выражений x= \frac{Пи}{6} + 2 Пи k,x= \frac{5 Пи}{6} + 2 Пи k, конец совокупности . k \in Z$ [рисунок] б) Отберём корни, по абсолютной величине не превышающие 1,5 Пи , т. е. корни, лежащие на промежутке $[ - \frac{3 Пи}{2} ; \frac{3 Пи}{2} ] ,$ с помощью тригонометрической окружности (см. рис.).