а) Решите уравнение $1 + \frac{1}{3 в степени ( \ctg x )} =4 \cdot 9 в

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. [рисунок] а) Упростим показатель степени в правой части уравнения, для этого применим формулу косинуса разности: $\frac{\cos ( x - \frac{Пи}{4} )}{\sqrt{2} \sin x} = \frac{\cos x \cos \frac{Пи }4 + \sin x \sin \frac{Пи }4}{корень из 2 \sin x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{}{} \cos x + \sin x}{\sin x} = \frac{{}{1}}{2} ( \ctg x + 1 )$ $\frac{\cos ( x - \frac{Пи}{4} )}{\sqrt{2} \sin x} = \frac{\cos x \cos \frac{Пи}{4} + \sin x \sin \frac{Пи}{4}}{корень из 2 \sin x} =$ $= \frac{1}{2} \cdot \frac{\cos x + \sin x}{\sin x} = \frac{1}{2} ( \ctg x + 1 )$ Преобразуем исходное уравнение к квадратному относительно показательной функции: $1 + \frac{1}{3 в степени ( \ctg x )} =4 \cdot 3 в степени ( \ctg x + 1 ) \Leftrightarrow 12 \cdot ( 3 в степени ( \ctg x ) )^{2} - 3 в степени ( \ctg x ) - 1=0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 3 в степени ( \ctg x ) = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \ctg x= - 1 \Leftrightarrow x= - \frac{Пи}{4} + Пи k,k \in Z$ б) Отберём корни при помощи единичной окружности.