а) Решить уравнение $2 \cos^{3} x= \sqrt{3} \sin^{2} x + \cos x$ б)

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. [рисунок] а) Из основного тригонометрического тождества следует, что $\sin^{2} x = 1 - \cos^{2} x,$ откуда получаем: $2 \cos^{3} x = корень из 3 ( 1 - \cos^{2} x ) + \cos x,$ то есть $2 \cos^{3} x + корень из 3 \cos^{2} x - \cos x - корень из 3 = 0$ Положим $t = \cos x,$ тогда: $2t^{3} + \sqrt{3} t^{2} - t - корень из 3 = ( 2t^{3} - корень из 3 t^{2} ) + ( 2 корень из 3 t^{2} - 3t ) + ( 2t - корень из 3 ) = ( 2t - корень из 3 ) ( t^{2} + корень из 3 t + 1 )$ $2t^{3} + \sqrt{3} t^{2} - t - корень из 3 = ( 2t^{3} - корень из 3 t^{2} ) + ( 2 корень из 3 t^{2} - 3t ) + ( 2t - корень из 3 ) =$ $= ( 2t - корень из 3 ) ( t^{2} + корень из 3 t + 1 )$ $2t^{3} + \sqrt{3} t^{2} - t - корень из 3 =$ $= ( 2t^{3} - корень из 3 t^{2} ) + ( 2 корень из 3 t^{2} - 3t ) + ( 2t - корень из 3 ) =$ $= ( 2t - корень из 3 ) ( t^{2} + корень из 3 t + 1 )$ Дискриминант квадратного уравнения $t^{2} + корень из 3 t + 1 = 0$ равен −1, поэтому оно не имеет корней.