8 \sin ( \frac{3 Пи}{2} - x ) - 3 = 0$ б) Укажите корни этого

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. [рисунок] а) Преобразуем уравнение: $2 \cos 2x - 8 \sin ( \frac{3 Пи}{2} - x ) - 3 = 0 \Leftrightarrow \Leftrightarrow 2 ( 2 \cos^{2} x - 1 ) + 8 \cos x - 3 = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 4 \cos^{2} x + 8 \cos x - 5 = 0 \Leftrightarrow ( 2 \cos x - 1 ) ( 2 \cos x + 5 ) = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow совокупность выражений \cos x = \frac{1}{2} , \cos x = - \frac{5}{2} конец совокупности . \Leftrightarrow \cos x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow совокупность выражений x = \frac{Пи}{3} + 2 Пи k, x = \frac{5 Пи}{3} + 2 Пи k, конец совокупности . k \in Z$ $2 \cos 2x - 8 \sin ( \frac{3 Пи}{2} - x ) - 3 = 0 \Leftrightarrow \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 2 ( 2 \cos^{2} x - 1 ) + 8 \cos x - 3 = 0 \Leftrightarrow 4 \cos^{2} x + 8 \cos x - 5 = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow ( 2 \cos x - 1 ) ( 2 \cos x + 5 ) = 0 \Leftrightarrow совокупность выражений \cos x = \frac{1}{2} , \cos x = - \frac{5}{2} конец совокупности . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \cos x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow совокупность выражений x = \frac{Пи}{3} + 2 Пи k, x = \frac{5 Пи}{3} + 2 Пи k, конец совокупности . k \in Z$ $2 \cos 2x - 8 \sin ( \frac{3 Пи}{2} - x ) - 3 = 0 \Leftrightarrow \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 2 ( 2 \cos^{2} x - 1 ) + 8 \cos x - 3 = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 4 \cos^{2} x + 8 \cos x - 5 = 0 \Leftrightarrow ( 2 \cos x - 1 ) ( 2 \cos x + 5 ) = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow совокупность выражений \cos x = \frac{1}{2} , \cos x = - \frac{5}{2} конец совокупности . \Leftrightarrow \cos x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow совокупность выражений x = \frac{Пи}{3} + 2 Пи k, x = \frac{5 Пи}{3} + 2 Пи k, конец совокупности . k \in Z$ $2 \cos 2x - 8 \sin ( \frac{3 Пи}{2} - x ) - 3 = 0 \Leftrightarrow \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 2 ( 2 \cos^{2} x - 1 ) + 8 \cos x - 3 = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 4 \cos^{2} x + 8 \cos x - 5 = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow ( 2 \cos x - 1 ) ( 2 \cos x + 5 ) = 0 \Leftrightarrow совокупность выражений \cos x = \frac{1}{2} , \cos x = - \frac{5}{2} конец совокупности . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \cos x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow совокупность выражений x = \frac{Пи}{3} + 2 Пи k, x = \frac{5 Пи}{3} + 2 Пи k, конец совокупности . k \in Z$ б) Отберем корни при помощи тригонометрической окружности (см. рис.).