3x + \frac{Пи}{4} ) = \sqrt{1 + 8 \sin 2x \cos^{2} 2x}$ б) Найдите все

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. [рисунок] а) Заметим, что уравнение имеет решение, только если $\sin ( 3x + \frac{Пи}{4} ) \geqslant 0$ При таком условии уравнение можно возвести в квадрат: $4 \sin^{2} ( 3x + \frac{Пи}{4} ) = 1 + 8 \sin 2x \cos^{2} 2x \Leftrightarrow 2 - 2 \cos ( 6x + \frac{Пи}{2} ) = 1 + 8 \sin 2x \cos^{2} 2x \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 1 + 2 \sin 6x - 8 \sin 2x \cos^{2} 2x = 0 \Leftrightarrow 1 + 6 \sin 2x \cos^{2} 2x - 2 \sin^{3} 2x - 8 \sin 2x \cos^{2} 2x = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 2 \sin^{3} 2x + 2 \sin 2x \cos^{2} 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow 2 \sin^{3} 2x + 2 \sin 2x ( 1 - \sin^{2} 2x ) - 1 = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 2 \sin 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow \sin 2x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow совокупность выражений 2x = \frac{Пи}{6} + 2 Пи k, 2x = \frac{5 Пи}{6} + 2 Пи k конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений x = \frac{Пи}{12} + Пи k, x = \frac{5 Пи}{12} + Пи k, конец совокупности . k \in Z$ $4 \sin^{2} ( 3x + \frac{Пи}{4} ) = 1 + 8 \sin 2x \cos^{2} 2x \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 2 - 2 \cos ( 6x + \frac{Пи}{2} ) = 1 + 8 \sin 2x \cos^{2} 2x \Leftrightarrow 1 + 2 \sin 6x - 8 \sin 2x \cos^{2} 2x = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 1 + 6 \sin 2x \cos^{2} 2x - 2 \sin^{3} 2x - 8 \sin 2x \cos^{2} 2x = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 2 \sin^{3} 2x + 2 \sin 2x \cos^{2} 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow 2 \sin^{3} 2x + 2 \sin 2x ( 1 - \sin^{2} 2x ) - 1 = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 2 \sin 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow \sin 2x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow совокупность выражений 2x = \frac{Пи}{6} + 2 Пи k, 2x = \frac{5 Пи}{6} + 2 Пи k конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений x = \frac{Пи}{12} + Пи k, x = \frac{5 Пи}{12} + Пи k, конец совокупности . k \in Z$ $4 \sin^{2} ( 3x + \frac{Пи}{4} ) = 1 + 8 \sin 2x \cos^{2} 2x \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 2 - 2 \cos ( 6x + \frac{Пи}{2} ) = 1 + 8 \sin 2x \cos^{2} 2x \Leftrightarrow 1 + 2 \sin 6x - 8 \sin 2x \cos^{2} 2x = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 1 + 6 \sin 2x \cos^{2} 2x - 2 \sin^{3} 2x - 8 \sin 2x \cos^{2} 2x = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 2 \sin^{3} 2x + 2 \sin 2x \cos^{2} 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 2 \sin^{3} 2x + 2 \sin 2x ( 1 - \sin^{2} 2x ) - 1 = 0 \Leftrightarrow 2 \sin 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \sin 2x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow совокупность выражений 2x = \frac{Пи}{6} + 2 Пи k, 2x = \frac{5 Пи}{6} + 2 Пи k конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений x = \frac{Пи}{12} + Пи k, x = \frac{5 Пи}{12} + Пи k, конец совокупности . k \in Z$ $4 \sin^{2} ( 3x + \frac{Пи}{4} ) = 1 + 8 \sin 2x \cos^{2} 2x \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 2 - 2 \cos ( 6x + \frac{Пи}{2} ) = 1 + 8 \sin 2x \cos^{2} 2x \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 1 + 2 \sin 6x - 8 \sin 2x \cos^{2} 2x = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 1 + 6 \sin 2x \cos^{2} 2x - 2 \sin^{3} 2x - 8 \sin 2x \cos^{2} 2x = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 2 \sin^{3} 2x + 2 \sin 2x \cos^{2} 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 2 \sin^{3} 2x + 2 \sin 2x ( 1 - \sin^{2} 2x ) - 1 = 0 \Leftrightarrow 2 \sin 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \sin 2x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow совокупность выражений 2x = \frac{Пи}{6} + 2 Пи k, 2x = \frac{5 Пи}{6} + 2 Пи k конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений x = \frac{Пи}{12} + Пи k, x = \frac{5 Пи}{12} + Пи k, конец совокупности . k \in Z$ $4 \sin^{2} ( 3x + \frac{Пи}{4} ) = 1 + 8 \sin 2x \cos^{2} 2x \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 2 - 2 \cos ( 6x + \frac{Пи}{2} ) = 1 + 8 \sin 2x \cos^{2} 2x \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 1 + 2 \sin 6x - 8 \sin 2x \cos^{2} 2x = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 1 + 6 \sin 2x \cos^{2} 2x - 2 \sin^{3} 2x - 8 \sin 2x \cos^{2} 2x = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 2 \sin^{3} 2x + 2 \sin 2x \cos^{2} 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 2 \sin^{3} 2x + 2 \sin 2x ( 1 - \sin^{2} 2x ) - 1 = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 2 \sin 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow \sin 2x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow совокупность выражений 2x = \frac{Пи}{6} + 2 Пи k, 2x = \frac{5 Пи}{6} + 2 Пи k конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений x = \frac{Пи}{12} + Пи k, x = \frac{5 Пи}{12} + Пи k, конец совокупности . k \in Z$ Из найденных серий условию $\sin ( 3x + \frac{Пи}{4} ) \geqslant 0$ удовлетворяют решения $x = \frac{Пи}{12} + 2 Пи k$ и $x = \frac{17 Пи}{12} + 2 Пи k, k \in Z$ б) Отберем корни при помощи тригонометрической окружности (см. рис.).