( 3 + 2x - x^{2} ) \frac{\sin x + \sqrt{3} \cos x}{\sin 3x} =

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. а) Заметим, что должны быть выполнены следующие условия: $x^{2} - 2x - 3 < 0,$ $x^{2} - 2x - 2 \neq 0,$ $\sin 3x \neq 0,$ то есть $минус 1 < x < 3,$ $x \neq 0,$ $x \neq \frac{Пи}{3} ,$ $x \neq \frac{2 Пи}{3} ,$ $x \neq 1\pm \sqrt{3}$ При этих условиях применим к правой части формулу $\frac{1}{} \log по основанию a b= \log по основанию b a$ и получим равносильное уравнение $\log по основанию ( 3 + 2x - x^{2} ) \frac{\sin x + \sqrt{3} \cos x}{\sin 3x} = \log по основанию ( 3 + 2x - x^{2} ) 2$ При тех же условиях имеем: $\frac{\sin x + \sqrt{3} \cos x}{\sin 3x} =2 \Leftrightarrow \frac{1}{2} \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x= \sin 3x \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \sin ( x + \frac{Пи}{3} ) - \sin 3x=0 \Leftrightarrow 2 \sin ( \frac{Пи}{6} - x ) \cos ( 2x + \frac{Пи}{6} ) =0 \Leftrightarrow$ $\frac{\sin x + \sqrt{3} \cos x}{\sin 3x} =2 \Leftrightarrow \frac{1}{2} \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x= \sin 3x \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \sin ( x + \frac{Пи}{3} ) - \sin 3x=0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 2 \sin ( \frac{Пи}{6} - x ) \cos ( 2x + \frac{Пи}{6} ) =0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow совокупность выражений \sin ( x - \frac{Пи}{6} ) =0, новая строка \cos ( 2x + \frac{Пи}{6} ) =0 конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений x - \frac{Пи}{6} = Пи k, новая строка 2x + \frac{Пи}{6} ) = \frac{Пи}{2} + Пи k, конец совокупности . \Leftrightarrow x= \frac{Пи}{6} ) + \frac{Пи k}{2} , k \in Z$ Из найденной серии ограничениям удовлетворяет только корень $x= \frac{Пи}{6}$ б) Очевидно, что единственный корень п. а) не лежит в указанном промежутке, то есть удовлетворяющих условию корней нет.