2x - \frac{Пи}{3} ) - \cos 2x= \sqrt{6} \sin x$ б) Укажите корни этого

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. [рисунок] Упростим левую часть уравнения: $2 \cos ( 2x - \frac{Пи}{3} ) - \cos 2x = 2 ( \cos 2x \cos \frac{Пи}{3} + \sin 2x \sin \frac{Пи}{3} ) - \cos 2x =$ $= \cos 2x + \sqrt{3} \sin 2x - \cos 2x = корень из 3 \sin 2x$ $2 \cos ( 2x - \frac{Пи}{3} ) - \cos 2x =$ $= 2 ( \cos 2x \cos \frac{Пи}{3} + \sin 2x \sin \frac{Пи}{3} ) - \cos 2x =$ $= \cos 2x + \sqrt{3} \sin 2x - \cos 2x = корень из 3 \sin 2x$ Сокращая на корень из 3 и используя формулу синуса двойного угла, получаем: $корень из 3 \sin 2x= \sqrt{6} \sin x \Leftrightarrow \sin 2x= корень из 2 \sin x \Leftrightarrow 2 \sin x \cos x - \sqrt{2} \sin x=0 \Leftrightarrow \sin x ( 2 \cos x - \sqrt{2} ) =0 \Leftrightarrow$ $корень из 3 \sin 2x= \sqrt{6} \sin x \Leftrightarrow \sin 2x= корень из 2 \sin x \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 2 \sin x \cos x - \sqrt{2} \sin x=0 \Leftrightarrow \sin x ( 2 \cos x - \sqrt{2} ) =0 \Leftrightarrow$ $корень из 3 \sin 2x= \sqrt{6} \sin x \Leftrightarrow \sin 2x= корень из 2 \sin x \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 2 \sin x \cos x - \sqrt{2} \sin x=0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \sin x ( 2 \cos x - \sqrt{2} ) =0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow совокупность выражений \sin x=0, \cos x= \frac{\sqrt{2}}{2} конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений x= Пи k,x=\pm \frac{Пи}{4} + 2 Пи k, конец совокупности . k \in Z$ б) Отберём корни при помощи тригонометрической окружности.