2 \cos ( x - \frac{4 Пи}{3} ) = корень из 3 \sin x$ б) Укажите корни

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. а) Запишем исходное уравнение в виде: $\sin 2x - 2 \cos x \cos \frac{4 Пи}{3} - 2 \sin x \sin \frac{4 Пи}{3} = корень из 3 \sin x \Leftrightarrow 2 \sin x \cos x + \cos x + \sqrt{3} \sin x - \sqrt{3} \sin x=0$ $\sin 2x - 2 \cos x \cos \frac{4 Пи}{3} - 2 \sin x \sin \frac{4 Пи}{3} = корень из 3 \sin x \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 2 \sin x \cos x + \cos x + \sqrt{3} \sin x - \sqrt{3} \sin x=0$ $\Leftrightarrow \cos x ( 2 \sin x + 1 ) =0$ [рисунок] Значит, $\cos x=0,$ откуда $x= \frac{Пи}{2} + Пи n, n \in Z ,$ или $\sin x= - \frac{1}{2} ,$ откуда $x= - \frac{Пи}{6} + 2 Пи k, k \in Z ,$ или $x= - \frac{5 Пи}{6} + 2 Пи m, m \in Z$ б) C помощью числовой окружности отберем корни, принадлежащие отрезку $[ - \frac{Пи}{2} ; Пи ]$ Получим числа $минус \frac{Пи}{2} , - \frac{Пи}{6} , \frac{Пи}{2}$ Ответ: а) $\frac{Пи}{2} + Пи n, n \in Z ; - \frac{Пи}{6} + 2 Пи k, k \in Z ; - \frac{5 Пи}{6} + 2 Пи m, m \in Z$ б) $минус \frac{Пи}{2} ; - \frac{Пи}{6} ; \frac{Пи}{2}$