ACB проведены высоты AA₁ и BB₁. Докажите, что треугольники A₁CB₁ и ACB
Условие
В треугольнике ABC с тупым углом ACB проведены высоты AA₁ и BB₁. Докажите, что треугольники A₁CB₁ и ACB подобны. Критерии оценивания выполнения задания | Баллы | Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ. | 2 | Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения или допущена одна вычислительная ошибка. | 1 | Другие случаи, не соответствующие указанным критериям. | 0 | Максимальный балл | 2 |
Формат задания
Решение по шагам
Как рассуждать
Решение. [рисунок] Поскольку угол ACB тупой, основания высот A₁ и B₁ будут лежать на продолжениях сторон BC и AC соответственно. Диагонали четырехугольника AA₁B₁B пересекаются, поэтому он выпуклый. Поскольку ∠AA₁B = ∠AB₁B = 90°, каждый из прямоугольных треугольников AA₁B и AB₁B вписан в окружность с диаметром AB. Это означает, что все вершины четырехугольника AA₁B₁B лежат на одной окружности. Тогда углы ∠AB₁A₁ и ∠ABA₁ равны как вписанные углы, опирающиеся на дугу A₁A. Аналогично, ∠BA₁B₁ = ∠BAB₁. Значит, указанные треугольники подобны по двум углам. Укажем общую теорему.Основания двух высот треугольника (остроугольного или тупоугольного) и одна из его вершин образуют треугольник, подобный исходному; коэффициент подобия равен модулю косинуса их общего угла. См. также. Аналогичное задание с остроугольным треугольником:
Осталось ещё 1 шаг — откроются после входа:
- Шаг 2
){kind=link}
Бесплатно · займёт минуту