9 класс·средний уровень

ACB проведены высоты AA₁ и BB₁. Докажите, что треугольники A₁CB₁ и ACB

Условие

В треугольнике ABC с тупым углом ACB проведены высоты AA₁ и BB₁. Докажите, что треугольники A₁CB₁ и ACB подобны.

Рисунок к задаче

Формат задания

Развёрнутый ответ: короткого ответа здесь нет — оценивается само рассуждение. Разбор откроется после входа.

Решение по шагам

Как рассуждать
Решение. [рисунок] Поскольку угол ACB тупой, основания высот A₁ и B₁ будут лежать на продолжениях сторон BC и AC соответственно. Диагонали четырехугольника AA₁B₁B пересекаются, поэтому он выпуклый. Поскольку ∠AA₁B = ∠AB₁B = 90°, каждый из прямоугольных треугольников AA₁B и AB₁B вписан в окружность с диаметром AB. Это означает, что все вершины четырехугольника AA₁B₁B лежат на одной окружности. Тогда углы ∠AB₁A₁ и ∠ABA₁ равны как вписанные углы, опирающиеся на дугу A₁A. Аналогично, ∠BA₁B₁ = ∠BAB₁. Значит, указанные треугольники подобны по двум углам. Укажем общую теорему.

Основания двух высот треугольника (остроугольного или тупоугольного) и одна из его вершин образуют треугольник, подобный исходному; коэффициент подобия равен модулю косинуса их общего угла. См. также. Аналогичное задание с остроугольным треугольником:

Осталось ещё 1 шаг

Приведем решение Романа Решетилова…

Получить полное решение

Бесплатно · займёт минуту

Другие задачи по теме «Геометрические задачи на доказательство»

Докажите, что углы AA₁B₁ и ABB₁ равны.9 классДокажите, что углы DAC и DBC также равны.9 классD, причем точки E и F лежат по одну сторону от прямой CD. Докажите, что9 классВ выпуклом четырехугольнике ABCD углы ABD и ACD равны. Докажите, что9 класс$BB_1$ и $CC_1$ Докажите, что углы $BB_1C_1$ и $BCC_1$ равны.9 класс

Похожая задача?Сфотографируйте своё условие — ИИ разберёт его по шагам так же