Математика
Стереометрическая задача: страница 10
Тема «Стереометрическая задача» на экзамене: типовые задачи и ход рассуждения.
В правильной четырехугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ c ребрами $AB = BC =В правильной четырехугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ c ребрами $AB = BC = 6$ и AA₁ = 12, точки M и K — середины AB и ВС соответственно. Точка N лежит на ребре BB₁, причем BN = 6. Через точку D…11 классРебра основания равна 4, а длина бокового ребра равна 2. а) ДокажитеВ правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ длина ребра основания равна 4, а длина бокового ребра равна 2. а) Докажите, что сечение призмы плоскостью α, проходящей через середину ребра AB…11 классРебра основания равна 6, а длина бокового ребра равна 3. а) ДокажитеВ правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ длина ребра основания равна 6, а длина бокового ребра равна 3. а) Докажите, что сечение призмы плоскостью α, проходящей через середину ребра AB…11 классДана прямая призма ABCA₁B₁C₁. ABC — равнобедренный треугольник сДана прямая призма ABCA₁B₁C₁. ABC — равнобедренный треугольник с основанием AB. На AB отмечена точка P такая, что AP : PB = 3 : 1. Точка Q делит пополам ребро B₁C₁. Точка M делит пополам…11 классТочка P делит ребро AB в отношении $A P : P B = 1 : 3,$ а точка QВ основании прямой призмы ABCA₁B₁C₁ лежит равнобедренный треугольник ABC с основанием AB. Точка P делит ребро AB в отношении $A P : P B = 1 : 3,$ а точка Q — середина ребра A₁C₁. Через…11 классТочка M делит ребро A₁D₁ в отношении $A_1M : MD_1 = 1 : 4,$ точка KДана прямая призма, в основании которой равнобедренная трапеция с основаниями AD = 5 и BC = 4. Точка M делит ребро A₁D₁ в отношении $A_1M : MD_1 = 1 : 4,$ точка K — середина DD₁.a)…11 классОснованием прямой призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ является параллелограмм. НаОснованием прямой призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ является параллелограмм. На рёбрах A₁B₁, B₁C₁ и BC отмечены точки M, K и N соответственно, причем $B_1 K : K C_1 = 1 : 2,$ а AMKN — равнобедренная…11 классM является серединой ребра BB₁, а точка N — середина ребра A₁C₁.В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ точка M является серединой ребра BB₁, а точка N — середина ребра A₁C₁. Плоскость α, параллельная прямым AM и B₁N, проходит через середину отрезка…11 классТочка P делит ребро AB в отношении AP : PB = 1 : 3, а точка QВ основании прямой призмы ABCA₁B₁C₁ лежит равнобедренный треугольник ABC с основанием AB. Точка P делит ребро AB в отношении AP : PB = 1 : 3, а точка Q — середина ребра A₁C₁. Через середину…11 классТочка M делит ребро A₁D₁ в отношении $A_1 M: M D_1=2: 3,$ а точка KВ основании прямой призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD = 5 и BC = 3. Точка M делит ребро A₁D₁ в отношении $A_1 M: M D_1=2: 3,$ а точка K — середина ребра…11 классТочка M делит ребро A₁D₁ в отношении $A_1 M: M D_1=1: 2,$ а точка KВ основании прямой призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD = 3 и BC = 2. Точка M делит ребро A₁D₁ в отношении $A_1 M: M D_1=1: 2,$ а точка K — середина ребра…11 классТочка G делит ребро A₁D₁ в отношении 2 : 5, считая от точки A₁, точка FВ основании прямой призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD = 7, BC = 5. Точка G делит ребро A₁D₁ в отношении 2 : 5, считая от точки A₁, точка F — середина…11 классНа рёбрах A₁B₁, B₁C₁ и BC отмечены точки M, K и N соответственноВ основании прямой призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит параллелограмм ABCD. На рёбрах A₁B₁, B₁C₁ и BC отмечены точки M, K и N соответственно, причем $B_1K : KC_1 = 1 : 5$ Четырехугольник AMKN —…11 классНа рёбрах A₁B₁, B₁C₁ и BC отмечены точки M, K и N соответственноВ основании прямой призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит параллелограмм ABCD. На рёбрах A₁B₁, B₁C₁ и BC отмечены точки M, K и N соответственно, причем $B_1K : KC_1 = 3 : 5$ Четырехугольник AMKN —…11 классНа его ребре AA₁ отмечена точка M так, что A₁M = 3. Через точки M и B₁В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ все ребра равны 5. На его ребре AA₁ отмечена точка M так, что A₁M = 3. Через точки M и B₁ проведена плоскость α, параллельная AC₁.а) Докажите, что плоскость α делит…11 классВ правильной четырехугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ сторона основанияВ правильной четырехугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ сторона основания равна 9, боковое ребро равно 14. Точка K принадлежит ребру A₁B₁ и делит его в отношении 2 : 7, считая от вершины A₁.а)…11 классΑ проходит через вершины B₁ и D, пересекает стороны AA₁ и CC₁ в точкахВ правильной четырехугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскость α проходит через вершины B₁ и D, пересекает стороны AA₁ и CC₁ в точках M и K соответственно, а сечение призмы плоскостью α…11 классВ прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ точка M — середина ребраВ прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ точка M — середина ребра D₁C₁, а на ребрах AA₁ и CC₁ отмечены точки Q и N так, что $AQ : A_1 Q =1: 4$ и $CN : C_1 N =3: 2$ Через точки M и N…11 классВ правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ на серединах рёбер A₁C₁ и BCВ правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ на серединах рёбер A₁C₁ и BC отмечены точки M и N соответственно.а) Докажите, что плоскость AB₁M делит отрезок A₁N в отношении 2 : 3, считая от…11 классИзвестно, что четырёхугольник MB₁KD — ромб.а) Докажите, что точка MВ правильной четырехугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскость α проходит через вершины B₁ и D, пересекает стороны AA₁ и CC₁ в точках M и K соответственно. Известно, что четырёхугольник MB₁KD —…11 классИзвестно, что M — середина AA₁.а) Докажите, что MB₁KD — ромб.б) НайдитеВ правильной четырехугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскость проходит через вершины B₁ и D и пересекает ребра AA₁ и CC₁ в точках M и K соответственно. Известно, что M — середина AA₁.а)…11 классТочка P делит ребро AB в отношении AP : PB = 1 : 3, а точка Q серединаВ основании прямой призмы ABCA₁B₁C₁ лежит равнобедренный треугольник ABC с основанием AB. Точка P делит ребро AB в отношении AP : PB = 1 : 3, а точка Q середина ребра A₁C₁. Через середину M…11 классB правильной четырёхугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ сторона AB основанияB правильной четырёхугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ сторона AB основания равна 5, а боковое ребро AA₁ равно $\sqrt{5}$ На рёбрах BC и C₁D₁ отмечены точки K и L соответственно, причём BK = C₁L…11 классВ правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ на боковых ребрах AA₁, BB₁ иВ правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ на боковых ребрах AA₁, BB₁ и CC₁ отмечены точки K, M и L соответственно так, что AK : KA₁ = B₁M : MB = 2 : 1, а плоскость KLM делит площадь боковой…11 классВ правильной треугольной призме сторона AB основания равна 2, точка MВ правильной треугольной призме сторона AB основания равна 2, точка M — середина ребра CC₁.а) Докажите, что сечение A₁MB — равнобедренный треугольник.б) Найдите высоту призмы, если площадь…11 классAM = 5MA₁, A₁K = KB₁. Через точки M и K провели плоскость αВ правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ отметили точки M и K на ребрах AA₁ и A₁B₁ соответственно. Известно, что AM = 5MA₁, A₁K = KB₁. Через точки M и K провели плоскость α перпендикулярно…11 классB правильной четырёхугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ сторона AB основанияB правильной четырёхугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ сторона AB основания равна 6, а боковое ребро AA₁ равно $2 \sqrt{6}$ На рёбрах BC и C₁D₁ отмечены точки K и L соответственно, причём BK =…11 классВ правильной треугольной призме сторона AB основания равна 4, точка MВ правильной треугольной призме сторона AB основания равна 4, точка M — середина ребра CC₁.а) Докажите, что сечение A₁MB — равнобедренный треугольник.б) Найдите высоту призмы, если площадь…11 классВ правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ известно, что AB = 2.В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ известно, что AB = 2. Плоскость α проходит через вершины A₁ и B и середину M ребра CC₁.а) Докажите, что сечение призмы ABCA₁B₁C₁ плоскостью α…11 классA₁M = 2AM, A₁K = KB₁. Через точки M и K провели плоскость αВ правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ отметили точки M и K на ребрах AA₁ и A₁B₁ соответственно. Известно, что A₁M = 2AM, A₁K = KB₁. Через точки M и K провели плоскость α перпендикулярно…11 классИзвестно, что AM = 3MA₁. Через точки M и C₁ перпендикулярно граниВ правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ все ребра которой равны, на ребре AA₁ отмечена точка M. Известно, что AM = 3MA₁. Через точки M и C₁ перпендикулярно грани ABB₁A₁ проведена…11 классA₁M = 4AM, A₁K = KB₁. Через точки M и K провели плоскость αВ правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ отметили точки M и K на ребрах AA₁ и A₁B₁ соответственно. Известно, что A₁M = 4AM, A₁K = KB₁. Через точки M и K провели плоскость α перпендикулярно…11 классA₁M = 4AM, A₁K = KB₁. Через точки M и K провели плоскость αВ правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ отметили точки M и K на ребрах AA₁ и A₁B₁ соответственно. Известно, что A₁M = 4AM, A₁K = KB₁. Через точки M и K провели плоскость α перпендикулярно…11 классAB = 8, AD = 7, AA₁ = 5. Точка W принадлежит ребру DD₁ и делит его вВ прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известны рёбра AB = 8, AD = 7, AA₁ = 5. Точка W принадлежит ребру DD₁ и делит его в отношении 1 : 4, считая от вершины D. а) Докажите, что…11 классИзвестно, что $AB = 6 корень из 2 ,$ AD = 10, AA₁ = 16.а) Докажите, чтоНа ребре AA₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ взята точка E так, что A₁E : EA = 5 : 3, на ребре BB₁ — точка F так, что B₁F : FB = 5 : 11, а точка T — середина ребра B₁C₁.…11 классТочка T — середина ребра B₁C₁. Известно, что $AB = 4 \sqrt{2} ,$ AD =На ребре AA₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ взята точка E так, что A₁E = 6EA. Точка T — середина ребра B₁C₁. Известно, что $AB = 4 \sqrt{2} ,$ AD = 12, AA₁ = 14.а) Докажите,…11 класс$AB = 8,$ $AD = 7$ и $AA_1 = 5$ Точка W принадлежит ребру DD₁ и делитВ прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известны рёбра $AB = 8,$ $AD = 7$ и $AA_1 = 5$ Точка W принадлежит ребру DD₁ и делит его в отношении 1 : 4, считая от вершины D. а) Докажите,…11 классABCDA₁B₁C₁D₁. а) Докажите, что сечение куба плоскостью A₁BE − этоТочка E — середина ребра CC₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁. а) Докажите, что сечение куба плоскостью A₁BE − это равнобокая трапеция.б) Найдите площадь этого сечения, если ребра куба равны 2. Критерии…11 классВ прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1,$ известны рёбра: ABВ прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1,$ известны рёбра: AB = 3, AD = 2, AA₁ = 5. Точка O принадлежит ребру BB₁ и делит его в отношении 2 : 3, считая от вершины B. а) Докажите,…11 классAB = 5, AD = 4, AA₁ = 9. Точка O принадлежит ребру BB₁ и делит его вВ прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известны рёбра AB = 5, AD = 4, AA₁ = 9. Точка O принадлежит ребру BB₁ и делит его в отношении 4 : 5, считая от вершины B. а) Докажите, что…11 класс
