Математика
Стереометрическая задача: страница 11
Тема «Стереометрическая задача» на экзамене: типовые задачи и ход рассуждения.
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁, известны рёбра: AB = 3В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁, известны рёбра: AB = 3, AD = 2, AA₁ = 5. Точка O принадлежит ребру BB₁ и делит его в отношении 2 : 3, считая от вершины B.а) Докажите, что…11 классИзвестно, что $AB = 4 корень из 2 ,$ AD = 30, AA₁ = 35.а) Докажите, чтоНа ребре AA₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ взята точка E так, что A₁E : EA = 6 : 1, на ребре BB₁ — точка F так, что B₁F : FB = 3 : 4, а точка T — середина ребра B₁C₁.…11 классНа ребре $AA_1$ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ взята точкаНа ребре $AA_1$ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ взята точка E так, что A₁E = 4EA. Точка T — середина ребра B₁C₁. Известно, что $AB = 3 \sqrt{2} ,$ AD = 16, AA₁ = 20.а) Докажите,…11 классТочка E — середина ребра BB₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁. а) Докажите, чтоТочка E — середина ребра BB₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁. а) Докажите, что сечение куба плоскостью D₁AE есть равнобокая трапеция.б) Найдите площадь этого сечения, если ребра куба равны 4. Критерии…11 классВ прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известны длины рёбер: AB =В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известны длины рёбер: AB = 4, BC = 3, AA₁ = 2. Точки P и Q — середины рёбер A₁B₁ и CC₁ соответственно. Плоскость APQ пересекает ребро B₁C₁ в…11 классCC₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁ соответственно.а) Докажите, что прямые B₁P и QBТочки P и Q — середины рёбер AD и CC₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁ соответственно.а) Докажите, что прямые B₁P и QB перпендикулярны.б) Найдите площадь сечения куба плоскостью, проходящей через точку P…11 классВ прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ через диагональ BD₁В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ через диагональ BD₁ проведена плоскость α, параллельная прямой AC.а) Докажите, что прямая пересечения плоскости α с плоскостью основания…11 классДан куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром длины 1. Точка Р — середина А₁D₁, точка QДан куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром длины 1. Точка Р — середина А₁D₁, точка Q делит отрезок АВ₁ в отношении 2 : 1, считая от вершины А, R — точка пересечения отрезков ВС₁ и В₁С.а) Найдите площадь…11 класс$CC_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ соответственно.а) Докажите, что прямыеТочки P и Q — середины рёбер AD и $CC_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ соответственно.а) Докажите, что прямые $B_1P$ и QB перпендикулярны.б) Найдите площадь сечения куба плоскостью, проходящей…11 классВ прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ через диагональ BD₁В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ через диагональ BD₁ проведена плоскость α, параллельная прямой AC.а) Докажите, что прямая пересечения плоскости α с плоскостью основания…11 классВ прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ точка P лежит на ребреВ прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ точка P лежит на ребре AA₁, причём A₁P : PA = 3 : 4, BB₁ = 14, AD = 6. Плоскость DPB₁ пересекает ребро CC₁ в точке N, тангенс угла между прямой…11 классВ прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ проведена секущаяВ прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ проведена секущая плоскость, содержащая диагональ AC₁ и пересекающая ребра BB₁ и DD₁ в точках F и E соответственно.а) Докажите, что сечение…11 классВ прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ проведена секущаяВ прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ проведена секущая плоскость, содержащая диагональ AC₁ и пересекающая ребра BB₁ и DD₁ в точках F и E соответственно. а) Докажите, что сечение…11 классВ кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки K, L и M — середины ребер AB, B₁C₁ и DD₁.а)В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки K, L и M — середины ребер AB, B₁C₁ и DD₁.а) Докажите, что сечение куба плоскостью KLM является правильным многоугольником.б) Найдите расстояния от точки A до…11 классНа ребре BB₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ взята точка FНа ребре BB₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ взята точка F так, что B₁F : FB = 1 : 6. Точка T — середина ребра B₁C₁. Известно, что $AB=6 \sqrt{2} ,$ AD = 12, AA₁ = 14.а)…11 классНа ребре BB₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ взята точка FНа ребре BB₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ взята точка F так, что B₁F : FB = 3 : 4. Точка T — середина ребра B₁C₁. Известно, что $AB=3 \sqrt{3} ,$ AD = 12, AA₁ = 14.а)…11 классКритерии оценивания выполнения заданияВ прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ через середину M диагонали AC₁ проведена плоскость α перпендикулярно этой диагонали, AB = 5, BC = 3 и AA₁ = 4.а) Докажите, что плоскость α…11 классДлины рёбер AD и A A₁ равны 6 и 10 соответственно. a) Докажите, чтоНа ребре AA₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ отмечена точка E так, что $A_1 E: E A=3: 2,$ точка T — середина ребра B₁C₁. Длины рёбер AD и A A₁ равны 6 и 10 соответственно. a)…11 классДан куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром длины 1. Точка Р — середина A₁D₁, точка QДан куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром длины 1. Точка Р — середина A₁D₁, точка Q делит отрезок AB₁ в отношении 2 : 1, считая от вершины A, R — точка пересечения отрезков BC₁ и B₁C.а) Найдите площадь…11 классВ прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ $A B=20 \sqrt{3} ,$ $AВ прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ $A B=20 \sqrt{3} ,$ $A D=42$ и $A A_1=56$ На отрезках BC₁ и BD отмечены точки M и N соответственно так, что прямые AM и A₁N пересекаются и $BN :…11 классНа его ребре AA₁ отмечена точка M так, что AM = 3. Через точки M и B₁В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ все ребра равны 5. На его ребре AA₁ отмечена точка M так, что AM = 3. Через точки M и B₁ проведена плоскость α, параллельная AC₁.а) Докажите, что $D_1 N : NA_1 = 1 : 2,$…11 классПлоскость α перпендикулярна диагонали BD₁ прямоугольногоПлоскость α перпендикулярна диагонали BD₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ и проходит через вершину A. При этом $\operatorname{tg} \angle ADB= \sqrt{2}$ а) Докажите, что…11 классПлоскость α проходит через середину ребра AD прямоугольногоПлоскость α проходит через середину ребра AD прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ перпендикулярно прямой BD₁.а) Докажите, что угол между плоскостью α и плоскостью ABC равен углу…11 классКритерии оценивания выполнения заданияВ прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ через середину M диагонали AC₁ проведена плоскость α перпендикулярно этой диагонали, AB = 13, BC = 5 и AA₁ = 12.а) Докажите, что плоскость α…11 классКритерии оценивания выполнения заданияВ прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ через середину M диагонали AC₁ проведена плоскость α перпендикулярно этой диагонали, AB = 17, BC = 8 и AA₁ = 15.а) Докажите, что плоскость α…11 классВ прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ через точки B₁ и D₁В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ через точки B₁ и D₁ проходят плоскости α и β, каждая из которых делит диагональ AC₁ на части, относящиеся друг к другу как 1 : 3. Также AB = 4,…11 классВ прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известны длины ребер: AB =В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известны длины ребер: AB = 4, BC = 2, AA₁ = 2. Точка M — середина B₁C₁, точка L делит ребро A₁B₁ в отношении 1 : 3, считая от вершины B₁.…11 классB основании параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит ромб с диагоналямиB основании параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит ромб с диагоналями $AC=2,$ $BD = \sqrt{2} ,$ пересекающимися в точке О. Ребро AA₁ наклонено к плоскости основания под углом 45°, а вершина A₁…11 классAB и D₁C₁ отмечены точки M и N, такие, что D₁N : NC₁ = BM : MA = 1 : 3В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ на ребрах AB и D₁C₁ отмечены точки M и N, такие, что D₁N : NC₁ = BM : MA = 1 : 3, точка O — центр грани BCC₁B₁. Через точки A₁ и O проходит…11 классДан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Точки M и K — середины его ребер AB и BCДан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Точки M и K — середины его ребер AB и BC соответственно. Плоскость α проходит через точку B параллельно прямым A₁M и B₁K.а) Докажите, что плоскость α проходит через…11 классДан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Точки M и K — середины его ребер AB и BCДан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Точки M и K — середины его ребер AB и BC соответственно. Плоскость α проходит через точку B параллельно прямым A₁M и B₁K.а) Докажите, что плоскость α проходит через…11 классВ прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известно, что AD = 2AA₁В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известно, что AD = 2AA₁, AB = 3AA₁. Плоскость α проходит через вершины A и C₁ и пересекает ребро CD в точке N такой, что CN = 2ND.а) Докажите,…11 классНа рёбрах A₁B₁, B₁C₁ и BC отмечены точки M, K и N соответственно такВ основании прямой призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит параллелограмм ABCD с углом 60° при вершине A. На рёбрах A₁B₁, B₁C₁ и BC отмечены точки M, K и N соответственно так, что четырёхугольник AMKN —…11 классВ кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ все рёбра равны 4. На его ребре BB₁ отмечена точкаВ кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ все рёбра равны 4. На его ребре BB₁ отмечена точка K так, что KB = 3. Через точки K и C₁ построена плоскость α, параллельная прямой BD₁.а) Докажите, что A₁P : PB₁ = 2 :…11 классВсе рёбра правильной треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ имеют длину 6. ТочкиВсе рёбра правильной треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ имеют длину 6. Точки M и N — середины рёбер AA₁ и A₁C₁ соответственно.а) Докажите, что прямые BM и MN перпендикулярны.б) Найдите угол между…11 классТочка E лежит на диагонали BD₁, причём BE = 1.а) Постройте сечениеВ основании прямой призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит квадрат ABCD со стороной 2, а высота призмы равна 1. Точка E лежит на диагонали BD₁, причём BE = 1.а) Постройте сечение призмы плоскостью A₁C₁E.…11 классКроме того известно, что SC = 6, BC = 4.а) Докажите, что BMCВ правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC точка M — середина ребра SA, точка K — середина ребра SB. Кроме того известно, что SC = 6, BC = 4.а) Докажите, что BMC --…11 классДиаметр окружности основания цилиндра равен 20, образующая цилиндраДиаметр окружности основания цилиндра равен 20, образующая цилиндра равна 28. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 12 и 16. Расстояние между этими хордами равно $2 \sqrt{197}$…11 классВ кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ все рёбра равны 7. На его ребре BB₁ отмечена точкаВ кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ все рёбра равны 7. На его ребре BB₁ отмечена точка K так. что KB = 4. Через точки K и C₁ проведена плоскость α, параллельная прямой BD₁.а) Докажите, что A₁P : PB₁ = 1 :…11 классРебро куба ABCDA₁B₁C₁D₁ равно 2. На ребре BB₁ отмечена точка K так, чтоРебро куба ABCDA₁B₁C₁D₁ равно 2. На ребре BB₁ отмечена точка K так, что $KB=1,6$ Через точки K и C₁ проведена плоскость α, параллельная прямой BD₁.а) Докажите, что $A_1 P: P B_1=3: 1,$ где…11 класс
