Математика
Стереометрическая задача: страница 3
Тема «Стереометрическая задача» на экзамене: типовые задачи и ход рассуждения.
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которойВ правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 2, а боковые рёбра равны 4. а) Докажите, что прямые SE и AC перпендикулярны.б) Найдите расстояние от точки C до…11 классКритерии оценивания выполнения заданияВ правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ высота равна 2, сторона основания равна 1. а) Докажите, что точки A₁ и B равноудалены от плоскости AB₁C₁.б) Найдите расстояние от точки B₁ до…11 классПрямоугольный треугольник ABC, у которого угол C равен 90°, угол AВ основании прямой призмы ABCA₁B₁C₁ лежит прямоугольный треугольник ABC, у которого угол C равен 90°, угол A равен 30°, $AC=10 \sqrt{3}$ Диагональ боковой грани B₁C составляет угол 30° с…11 классВершиной S, все рёбра которой равны 4, точка N — середина ребра ACВ правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S, все рёбра которой равны 4, точка N — середина ребра AC, точка O — центр основания пирамиды, точка P делит отрезок SO в отношении 3 : 1,…11 классДан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Длина ребра куба равна 1. а) Докажите, чтоДан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Длина ребра куба равна 1. а) Докажите, что расстояние от середины отрезка BC₁ до плоскости AB₁D₁ равно расстоянию середины отрезка BC₁ до прямой, проходящей через…11 классКритерии оценивания выполнения заданияДана правильная четырёхугольная пирамида MABCD, рёбра основания которой равны $5 \sqrt{2}$ Тангенс угла между прямыми DM и AL равен $\sqrt{2} ,$ L — середина ребра MB. а) Докажите, что…11 классКритерии оценивания выполнения заданияВ правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ высота равна 1, а ребро основания равно 2. а) Докажите, что точки A и $B_1$ равноудалены от плоскости $A_1BC_1$ б) Найдите расстояние от точки A₁…11 классКритерии оценивания выполнения заданияВ правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ высота равна 3, а ребро основания равно 4. а) Докажите, что точки A и B₁ равноудалены от плоскости BA₁C₁.б) Найдите расстояние от точки A₁ до…11 классОснованием прямой призмы MNKM₁N₁K₁ является прямоугольный треугольникОснованием прямой призмы MNKM₁N₁K₁ является прямоугольный треугольник MNK, у которого угол N равен 90°, угол M равен 60°, NK = 18. Диагональ боковой грани M₁N составляют угол 30° с…11 классПрямоугольный треугольник ABC, у которого угол C равен 90°, угол AВ основании прямой призмы ABCA₁B₁C₁ лежит прямоугольный треугольник ABC, у которого угол C равен 90°, угол A равен 30°, $AC=8 \sqrt{3}$ Диагональ боковой грани B₁C составляет угол 30° с…11 классТангенс угла между прямыми DM и AL равен $\frac{2}{3} ,$ L — серединаДана правильная четырёхугольная пирамида MABCD, рёбра основания которой равны 5. Тангенс угла между прямыми DM и AL равен $\frac{2}{3} ,$ L — середина ребра MB. а) Докажите, что плоскости…11 классКритерии оценивания выполнения заданияДана правильная четырёхугольная пирамида MABCD, рёбра основания которой равны $4 \sqrt{2}$ Тангенс угла между прямыми DM и AL равен $\sqrt{3} ,$ L — середина ребра MB. а) Докажите, что…11 классДлины ребер AB, AA₁ и AD прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁Длины ребер AB, AA₁ и AD прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ равны соответственно 12, 16 и 15.а) Докажите, что расстояние от вершины $D_1$ до прямой $A_1B$ больше, чем расстояние от…11 классКритерии оценивания выполнения заданияВ правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ стороны основания равны 3, а боковые ребра равны 4.а) Докажите, что плоскости $CD_1E_1$ и $AEE_1$ перпендикулярны.б) Найдите расстояние…11 классКритерии оценивания выполнения заданияВ правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁, все ребра равны 1.а) Докажите, что прямая $BF_1$ перпендикулярна прямой $F_1E_1$ б) Найдите расстояние от точки B до прямой E₁F₁.…11 классДана правильная четырёхугольная пирамида SABCD с вершиной S. РеброДана правильная четырёхугольная пирамида SABCD с вершиной S. Ребро основания пирамиды равно $\sqrt{6} ,$ высота — $\sqrt{33}$ а) Докажите, что сечение пирамиды, проходящее через середину…11 классДлины ребер BC, BB₁ и BA прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁Длины ребер BC, BB₁ и BA прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ равны соответственно 12, 4 и 3. а) Докажите, что расстояние от вершины $A_1$ до прямой $D_1C$ больше, чем расстояние от…11 классКритерии оценивания выполнения заданияВ правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ стороны основания равны 4, а боковые ребра равны 3.а) Докажите, что плоскости $BC_1D_1$ и $FDD_1$ перпендикулярны.б) Найдите расстояние…11 классДлины ребер BC, BB₁ и BA прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁Длины ребер BC, BB₁ и BA прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ равны соответственно 8, 12 и 9. а) Докажите, что расстояние от вершины $A_1$ до прямой $D_1C$ больше, чем расстояние от…11 классКритерии оценивания выполнения заданияВ правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁, все рёбра которой равны 4.а) Докажите, что плоскости $AB_1C_1$ и $ECC_1$ перпендикулярны.б) Найдите расстояние от точки A до прямой…11 классКритерии оценивания выполнения заданияВ правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁, все ребра равны 10.а) Докажите, что прямая EC₁ перпендикулярна прямой B₁C₁. б) Найдите расстояние от точки E до прямой B₁C₁. Критерии…11 классОснованием прямого параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ является ромб ABCDОснованием прямого параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ является ромб ABCD, сторона которого равна $4 \sqrt{3} ,$ а угол ВАD равен 60°. а) Докажите, что прямые $AC_1$ и BD перпендикулярны.б)…11 классПрямые CA₁ и AB₁ перпендикулярны. а) Докажите, что AA₁ = AC.б) НайдитеОснованием прямой треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Прямые CA₁ и AB₁ перпендикулярны. а) Докажите, что AA₁ = AC.б) Найдите расстояние…11 классНайдите PH, если AB = 12.Точки P и Q — середины рёбер AD и CC₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁ соответственно.а) Докажите, что прямая BQ перпендикулярна прямой B₁P.б) Пусть H — проекция точки Q на прямую B₁P. Найдите PH, если AB…11 классВ прямом круговом цилиндре проведена образующая NN₁, точка N лежит вВ прямом круговом цилиндре проведена образующая NN₁, точка N лежит в нижнем основании. Отрезок KM₁ пересекает ось цилиндра, а точки K и M₁ лежат на окружностях нижнего и верхнего основания…11 классТочка O — центр основания ABCDEF правильной шестиугольной пирамидыТочка O — центр основания ABCDEF правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF. Точки K, L, M, T — середины отрезков AF, SF, SD, MK соответственно.а) Докажите, что точка T лежит на отрезке…11 классКритерии оценивания выполнения заданияОснованием прямой призмы ABCA₁B₁C₁ является равнобедренный треугольник ABC, боковая сторона которого равна $6 \sqrt{3} ,$ а угол ACB равен 120°. а) Докажите, что $AB_1 > AC_1$ б) Найдите…11 классПрямые CA₁ и AB₁ перпендикулярны. а) Докажите, что AA₁ = AС.б) НайдитеОснованием прямой треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Прямые CA₁ и AB₁ перпендикулярны. а) Докажите, что AA₁ = AС.б) Найдите расстояние…11 классНайдите B₁H, если AB = 24.Точки P и Q — середины рёбер AD и CC₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁ соответственно.а) Докажите, что прямая BQ перпендикулярна прямой B₁P.б) Пусть H — проекция точки Q на прямую B₁P. Найдите B₁H, если…11 классТочка O — центр основания ABCDEF правильной шестиугольной пирамидыТочка O — центр основания ABCDEF правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF. Точки K, L, M, T — середины отрезков AF, SF, SD, MK соответственно.а) Докажите, что точка T лежит на отрезке…11 классВ кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром, равным 6, на ребре AA₁ взята точка M такВ кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром, равным 6, на ребре AA₁ взята точка M так, что $\frac{AM}{MA_1} = \frac{1}{2}$ На ребре D₁C₁ взята точка N так, что $\frac{D_1N}{NC_1} = \frac{1}{2}$ а)…11 классВ кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки P, K, L — середины ребер АА₁, A₁D₁, B₁C₁В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки P, K, L — середины ребер АА₁, A₁D₁, B₁C₁ соответственно, точка Q — центр грани CC₁D₁D. Отрезок MN c концами на прямых AD и KL соответственно пересекает прямую PQ и…11 классВ кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром, равным 8, на ребре AA₁ взята точка M такВ кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром, равным 8, на ребре AA₁ взята точка M так, что $\frac{AM}{MA_1} = \frac{1}{3}$ На ребре D₁C₁ взята точка N так, что $\frac{D_1N}{NC_1} = \frac{1}{3}$ а)…11 классДан куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 1. Точка T — середина ребра AD. а)Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 1. Точка T — середина ребра AD. а) Докажите, что плоскость A₁BT делит объем куба в отношении 1 : 11.б) Найдите расстояние от вершины A до плоскости A₁BT.…11 классДан куб ABCDA₁B₁C₁D₁.Длина ребра куба равна 1.а) Докажите, что объемДан куб ABCDA₁B₁C₁D₁.Длина ребра куба равна 1.а) Докажите, что объем пирамиды B₁AD₁C₁B равен $\frac{1}{3}$ б) Найдите расстояние от середины отрезка BC₁ до плоскости AB₁D₁. Критерии…11 классКритерии оценивания выполнения заданияВ основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = 12 и $BC=5 корень из 3$ Длины боковых рёбер пирамиды SA = 5, SB = 13, SD = 10.а) Докажите, что SA —…11 классABCD, у которого AB = 10, BD = 12. Высота призмы равна 6. а) ДокажитеОснованием прямой призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ является ромб ABCD, у которого AB = 10, BD = 12. Высота призмы равна 6. а) Докажите, что прямые $A_1C$ и BD перпендикулярны.б) Найдите расстояние от…11 классAB = AC = 5, BC = 6. Высота призмы равна 3. а) Докажите, что плоскостьОснованием прямой призмы ABCA₁B₁C₁ является равнобедренный треугольник ABC, AB = AC = 5, BC = 6. Высота призмы равна 3. а) Докажите, что плоскость, проходящая через точки A, A₁ и середину…11 классПрямоугольник ABCD со сторонами $AB= корень из 5$ и $BC=2$ ДлиныВ основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами $AB= корень из 5$ и $BC=2$ Длины боковых ребер пирамиды $SA= корень из 7 ,SB=2 корень из 3 ,SD= \sqrt{11}$…11 классКритерии оценивания выполнения заданияВ основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = 8 и $BC= \sqrt{15}$ Длины боковых рёбер пирамиды SA = 15, SB = 17, $SD = 4 \sqrt{15}$ а) Докажите, что…11 класс
