Найдите площадь трапеции.

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. [рисунок] Введем обозначения, как показано на рисунке. Продолжим биссектрису до пересечения с прямой BC в точке K Углы CKD и ADK равны как накрест лежащие при параллельных прямых. Значит, $\angle ADK=\angle CDK=\angle CKD,$ следовательно, треугольник CKD — равнобедренный: $KC=CD=25$ Найдем BK: $BK=CK - BC=25 - 5=20$ Углы KMB и AMD равны как вертикальные. Рассмотрим треугольники KMB и AMD: стороны AM и BM равны, углы KMB и AMD равны как вертикальные, углы KBM и MAD равны как накрест лежащие при параллельных прямых, следовательно, эти треугольники равны, откуда $AD=KB=20$ Проведем прямую CP, параллельную AB. Прямая AB параллельна CP, прямая AD параллельна BC, следовательно, четырехугольник ABCP — параллелограмм, откуда $AP=BC=5,$ $CP=AB =20$ Найдем PD: $PD=AD - AP=20 - 5=15$ Рассмотрим треугольник CPD, заметим, что $CP^{2} + PD^{2} =400 + 225=625=CD^{2}$ Следовательно, по теореме, обратной теореме Пифагора, получаем, что треугольник CPD — прямоугольный, следовательно, CP — высота трапеции. Найдем площадь трапеции: $S= \frac{BC + AD}{2} \cdot CP= \frac{5 + 20}{2} \cdot 20=250$