Найдите основания трапеции.

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. [рисунок] Продлим стороны AB и CD до пересечения в точке K В треугольнике AKD сумма углов KAD и KDA равна 90°, следовательно, величина $\angle AKD=180^{\circ} - \angle KAD - \angle KDA=90^{\circ}$ Значит, треугольник AKD — прямоугольный. Рассмотрим треугольник AKD, он прямоугольный, следовательно, центр описанной окружности — середина гипотенузы, то есть точка F Значит, $AF=KF=FD=R= \frac{AD}{2}$ Рассмотрим треугольники AKF и GKO, угол AKF — общий, углы KGO и KAF равны как соответственные углы при параллельных прямых, следовательно, эти треугольники подобны по двум углам, коэффициент подобия равен $\frac{OK}{KF} =k$ Аналогично, подобны треугольники FKD и OKH, их коэффициент подобия равен $\frac{OK}{KF} =k$ Покажем, что отрезки GO и OH равны: $GO=kAF,OH=kFD=kAF=GO$ Рассмотрим треугольник GKH, он прямоугольный, аналогично треугольнику AKF точка O — центр описанной окружности треугольника GKH, откуда $GO=KO=OH= \frac{GH}{2}$ Аналогично, в треугольнике BKC — $BE=KE=EC= \frac{BC}{2}$ Получаем: $OH=KO=KE + EO=EC + \frac{EF}{2} ,$ откуда $EC=OH - \frac{EF}{2} = \frac{GH - EF}{2}$ Значит, $BC=2EC=GH - EF=10$ Отрезок GH — средняя линия трапеции, следовательно, $GH= \frac{AD + BC}{2} ,$ откуда $AD=2GH - BC=2 \cdot 11 - 10=GH + EF=12$