За время хранения вклада в банке проценты по нему начислялись

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. Известно:1. Проценты на вклад начислялись ежемесячно.2. Каждая последующая процентная надбавка по истечении календарного месяца начислялась с учетом вновь образованной суммы вклада и с учетом предыдущих надбавок.

   Если первоначальная сумма вклада при ежемесячной 5%-ной ставке начисления процентов продержалась k месяцев, то вклад ежемесячно увеличивался в $1 + 5 \cdot 0,01$ раз, и этот коэффициент будет сохранен до тех пор, пока ставка не изменится.

   При изменении процентной надбавки с $5\%$ на $12\%$ (ставка $12\%$ продержалась m месяцев) первоначальная сумма вклада за $( k + m )$ месяцев увеличится в $( 1 + 0,05 ) в степени ( k ) \cdot ( 1 + 0,12 )^{m} = ( \frac{21}{20} )^{k} \cdot ( \frac{28}{25} )^{m}$ раза. Предположим, что процентная ставка $целая часть: 11, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 9$ продержалась n месяцев, а процентная ставка $12,5$ продержалась t месяцев. Тогда соответствующие коэффициенты повышения составят: ( 1 + \frac{100}{9} \cdot 0,01 )^{n} = ( \frac{10}{9} )^{n} } и $( 1 + 12,5 \cdot 0,01 )^{t} = ( \frac{9}{8} )^{t}$ Таким образом, коэффициент повышения суммы вклада в целом за весь период хранения вклада в банке составит: $( \frac{21}{20} )^{k} \cdot ( \frac{28}{25} )^{m} \cdot ( \frac{10}{9} )^{n} \cdot ( \frac{9}{8} )^{t} = \frac{3^{k} \cdot 7^{k} \cdot 2^{2}m ) \cdot 7^{m} \cdot 2^{n} \cdot 5^{n} \cdot 3^{2}t )}{2^{2}k ) \cdot 5^{k} \cdot 5^{2}m ) \cdot 3^{2}n ) \cdot 2^{3}t )} = \frac{2^{2}m + n ) \cdot 3 в степени ( k + 2t ) \cdot 5^{n} \cdot 7 в степени ( k + m )}{2^{2}k + 3t ) \cdot 3^{2}n ) \cdot 5 в степени ( k + 2m )}$ $( \frac{21}{20} )^{k} \cdot ( \frac{28}{25} )^{m} \cdot ( \frac{10}{9} )^{n} \cdot ( \frac{9}{8} )^{t} =$ $= \frac{3^{k} \cdot 7^{k} \cdot 2^{2}m ) \cdot 7^{m} \cdot 2^{n} \cdot 5^{n} \cdot 3^{2}t )}{2^{2}k ) \cdot 5^{k} \cdot 5^{2}m ) \cdot 3^{2}n ) \cdot 2^{3}t )} = \frac{2^{2}m + n ) \cdot 3 в степени ( k + 2t ) \cdot 5^{n} \cdot 7 в степени ( k + m )}{2^{2}k + 3t ) \cdot 3^{2}n ) \cdot 5 в степени ( k + 2m )}$ $( \frac{21}{20} )^{k} \cdot ( \frac{28}{25} )^{m} \cdot ( \frac{10}{9} )^{n} \cdot ( \frac{9}{8} )^{t} =$ $= \frac{3^{k} \cdot 7^{k} \cdot 2^{2}m ) \cdot 7^{m} \cdot 2^{n} \cdot 5^{n} \cdot 3^{2}t )}{2^{2}k ) \cdot 5^{k} \cdot 5^{2}m ) \cdot 3^{2}n ) \cdot 2^{3}t )} =$ $= \frac{2^{2}m + n ) \cdot 3 в степени ( k + 2t ) \cdot 5^{n} \cdot 7 в степени ( k + m )}{2^{2}k + 3t ) \cdot 3^{2}n ) \cdot 5 в степени ( k + 2m )}$ С другой стороны, согласно условию задачи первоначальная сумма вклада за это же время увеличилась на $целая часть: 104, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 6$ то есть в $( 1 + \frac{625 \cdot 0,01}{6} ) = ( \frac{6 + 6,25}{6} ) = \frac{12,25}{6} = \frac{1225}{600} = \frac{49}{24} = \frac{7^{2}}{2^{3} \cdot 3}$ раза.

   Значит, $\frac{2^{2}m + n ) \cdot 3 в степени ( k + 2t ) \cdot 5^{n} \cdot 7 в степени ( k + m )}{2^{2}k + 3t ) \cdot 3^{2}n ) \cdot 5 в степени ( k + 2m )} = \frac{7^{2}}{2^{3} \cdot 3} \Leftrightarrow 2^{2}m + n - 2k - 3t ) \cdot 3 в степени ( k + 2t - 2n ) \cdot 5 в степени ( n - k - 2m ) \cdot 7 в степени ( k + m ) =2^{-3} \cdot 3^{-1} \cdot 7^{2}$ $\frac{2^{2}m + n ) \cdot 3 в степени ( k + 2t ) \cdot 5^{n} \cdot 7 в степени ( k + m )}{2^{2}k + 3t ) \cdot 3^{2}n ) \cdot 5 в степени ( k + 2m )} = \frac{7^{2}}{2^{3} \cdot 3} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 2^{2}m + n - 2k - 3t ) \cdot 3 в степени ( k + 2t - 2n ) \cdot 5 в степени ( n - k - 2m ) \cdot 7 в степени ( k + m ) =2^{-3} \cdot 3^{-1} \cdot 7^{2}$ Согласно основной теореме арифметики каждое натуральное число, большее 1, можно представить в виде произведения простых множителей, и это представление единственное с точностью до порядка их следования. В таком случае: $система выражений новая строка 2m + n - 2k - 3t= - 3 , новая строка k + 2t - 2n= - 1 , новая строка n - k - 2m=0, новая строка k + m=2 . конец системы$ Решим эту систему относительно натуральных k,m,n и t Из последнего уравнения системы имеем: $k=m=1$ При этих значениях k и m система примет вид: $система выражений новая строка 2 + n - 2 - 3t= - 3 , новая строка 1 + 2t - 2n= - 1 конец системы$ $\Leftrightarrow система выражений новая строка n - 3t= - 3 , новая строка 2t - 2n= - 2 конец системы . \Leftrightarrow система выражений новая строка n - 3t= - 3 , новая строка t - n= - 1 конец системы . \Leftrightarrow система выражений новая строка - 2t= - 4 , новая строка t=n - 1 конец системы . \Leftrightarrow система выражений новая строка t=2 , новая строка n=t + 1 конец системы . \Leftrightarrow система выражений новая строка t=2 , новая строка n=3 . конец системы$ Итак, $k + m + n + t=1 + 1 + 3 + 2=7,$ вклад в банке на хранении был 7 месяцев. При найденных значениях k,m,n и t n - k - 2m действительно равно нулю.