В каждом из двух комбинатов работает по 1000 человек. На первом

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. На каждом комбинате в день может быть затрачено 1000 человеко-смен труда. Пусть на первом комбинате на изготовление детали A ежедневно будет затрачено х человеко-смен, а на втором комбинате − y² человеко-смен. Составим таблицу по данным задачи. | Деталь A | Деталь B | Количество человеко-смен | Количество деталей за смену, шт | Количество человеко-смен | Количество деталей за смену, шт | Первый комбинат | x | 3x | 1000 - x | 1000 - x | Второй комбинат | $y^{2}$ | 10y | $1000 - y^{2}$ | $10 \sqrt{1000 - y^{2}}$ | Всего | | $3x + 10y$ | | $1000 - x + 10 \sqrt{1000 - y^{2}}$ | Для производства изделия количество изготовленных деталей B должно быть ровно в три раза больше количества изготовленных деталей A: $3 ( 3x + 10y ) =1000 - x + 10 \sqrt{1000 - y^{2}} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 10x = 1000 - 30y + 10 \sqrt{1000 - y^{2}} \Leftrightarrow x = 100 - 3y + \sqrt{1000 - y^{2}} . ( * )$ $3 ( 3x + 10y ) =1000 - x + 10 \sqrt{1000 - y^{2}} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 10x = 1000 - 30y + 10 \sqrt{1000 - y^{2}} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow x = 100 - 3y + \sqrt{1000 - y^{2}} . ( * )$ Пусть n — количество изделий, которые соберёт завод за смену, оно равно количеству деталей A. $n=3x + 10y$ Учитывая равенство (⁎), имеем: $n ( y ) =3 ( 100 - 3y + \sqrt{1000 - y^{2}} ) + 10y=y + 3 \sqrt{1000 - y^{2}} + 300$ Найдём наибольшее значение функции n ( y ) , где $0 \leqslant y \leqslant 10 корень из 1 0$ Для этого исследуем функцию с помощью производной: $n' ( y ) =1 + \frac{3 \cdot ( - 2y )}{2 \sqrt{1000 - y^{2}}} = \frac{\sqrt{1000 - y^{2}} - 3y}{\sqrt{1000 - y^{2}}}$ Приравняем производную к нулю и найдём критические точки: $n' ( y ) =0 \Leftrightarrow \sqrt{1000 - y^{2}} - 3y=0 \Leftrightarrow y=10$ [рисунок] Заметим, что при $y=10$ равенство (⁎) выполняется, если $x=100$ Таким образом, наибольшее значение функции n ( y ) равно $n ( 10 ) = 10 + 3 \sqrt{1000 - 10^{2}} + 300=400$ Значит, завод сможет собирать 400 изделий за смену. Ответ: