Производство x тысяч единиц продукции обходится в $q=2x^{2} + 4x + 7$

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Прибыль (в млн руб.) за один год выражается величиной $px - ( 2x^{2} + 4x + 7 ) = - 2x^{2} + ( p - 4 ) x - 7$ Это выражение является квадратным трёхчленом и достигает своего наибольшего значения $\frac{( p - 4 )^{2}}{8} - 7$ при $x= \frac{p - 4}{4}$ Прибыль за шесть лет составит не менее 150 млн руб., если $\frac{( p - 4 )^{2}}{8} - 7 \geqslant \frac{150}{6} \Leftrightarrow ( p - 4 )^{2} \geqslant32 \cdot 8 \Leftrightarrow ( p - 4 )^{2} - 16^{2} \geqslant 0 \Leftrightarrow ( p - 20 ) ( p + 12 ) \geqslant0,$ $\frac{( p - 4 )^{2}}{8} - 7 \geqslant \frac{150}{6} \Leftrightarrow ( p - 4 )^{2} \geqslant32 \cdot 8 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow ( p - 4 )^{2} - 16^{2} \geqslant 0 \Leftrightarrow ( p - 20 ) ( p + 12 ) \geqslant0,$ то есть при p ⩾ 20, поскольку цена продукции не может быть отрицательной.