Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. Допустим, что на заводе, расположенном в первом городе, рабочие трудятся $x^{2}$ часов, а на заводе, расположенном во втором городе, $y^{2}$ часов. Тогда в неделю будет произведено $x + y$ единиц товара, а затраты на оплату труда составят $200x^{2} + 300y^{2} =1200000$ Выразим y через x: $200x^{2} + 300y^{2} =1200000 \Leftrightarrow y^{2} =4000 - \frac{2}{3} x^{2} \Leftrightarrow y= \sqrt{4000 - \frac{2}{3} x^{2}}$ Значит, нам нужно найти наибольшее значение функции $Q ( x ) =x + \sqrt{4000 - \frac{2}{3} x^{2}}$ при $0 \leqslant x \leqslant 20 \sqrt{15}$ Для этого найдем производную функции Q ( x ) : $Q' ( x ) =1 - \frac{2x}{3 \sqrt{4000 - \frac{2}{3} x^{2}}}$ Найдем критические точки: $Q' ( x ) =0 \Leftrightarrow 1= \frac{2x}{3 \sqrt{4000 - \frac{2}{3} x^{2}}} \Leftrightarrow 3 \sqrt{4000 - \frac{2}{3} x^{2}} =2x \Leftrightarrow 36000 - 6x^{2} =4x^{2} \Leftrightarrow x^{2} =3600,$ $Q' ( x ) =0 \Leftrightarrow 1= \frac{2x}{3 \sqrt{4000 - \frac{2}{3} x^{2}}} \Leftrightarrow 3 \sqrt{4000 - \frac{2}{3} x^{2}} =2x \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 36000 - 6x^{2} =4x^{2} \Leftrightarrow x^{2} =3600,$ $Q' ( x ) =0 \Leftrightarrow 1= \frac{2x}{3 \sqrt{4000 - \frac{2}{3} x^{2}}} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 3 \sqrt{4000 - \frac{2}{3} x^{2}} =2x \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 36000 - 6x^{2} =4x^{2} \Leftrightarrow x^{2} =3600,$ то есть $x = 60$ — единственная критическая точка, удовлетворяющая условию $0 \leqslant x \leqslant 20 \sqrt{15}$ Найдем значения функции в найденной точке и на концах отрезка: $Q ( 60 ) =100,Q ( 20 \sqrt{15} ) =20 \sqrt{15} ,Q ( 0 ) =20 \sqrt{10}$ Наибольшее значение функции Q ( x ) равно 100, значит, наибольшее количество единиц товара равно